Q6: Dizer que
é linearmente independente é o mesmo que dizer que:
(A)
não é múltiplo de
se
.
(B) Se
, então
.
(C) Se
, então
.
(D) Para todo
.
(E) Não sei
(A)
(B) Se
(C) Se
(D) Para todo
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado pergunta qual das alternativas expressa corretamente o fato de que o conjunto
é linearmente independente. O conteúdo principal aqui é a definição de independência linear em espaços vetoriais, que envolve combinações lineares dos vetores do conjunto.
Passo 2
Por definição, dizemos que
é linearmente independente se, sempre que uma combinação linear desses vetores resultar no vetor nulo, necessariamente todos os coeficientes dessa combinação são zero. Em notação:
Passo 3
Analisando a alternativa (A): ela afirma que nenhum
é múltiplo de outro
se
. Isso é uma consequência de independência para o caso
, mas não caracteriza completamente a independência quando
, pois poderia haver dependência envolvendo três ou mais vetores.
Passo 4
Analisando a alternativa (B): ela diz que, se
, então a combinação
.
Mas essa condição é trivial e vale para qualquer conjunto de vetores, independente de serem ou não independentes.
Mas essa condição é trivial e vale para qualquer conjunto de vetores, independente de serem ou não independentes.
Passo 5
Analisando a alternativa (C): ela afirma exatamente a definição de independência linear:
É portanto a equivalente correta.
Passo 6
Analisando a alternativa (D): ela diz que para todos
vale
.
Isso seria um conjunto que gera sempre o zero, logo só possível se todos os , e está longe de ser a definição de independência.
Isso seria um conjunto que gera sempre o zero, logo só possível se todos os
Resposta
(C)