Dados \vec{u}=\left(1, \frac{1}{2}\right) e \vec{v}=(2,3), determine \left\|\frac{\vec{u}+\vec{v}}{\|\vec{u}+\vec{v}\|}\right\|

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=\left(1,\frac{1}{2}\right) e \vec{v}=(2,3) e pede para determinar o valor de
\left\|\frac{\vec{u}+\vec{v}}{\|\vec{u}+\vec{v}\|}\right\|.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os dois vetores no plano \mathbb{R}^2 são \vec{u} e \vec{v} acima.
  • A expressão envolve soma de vetores, norma (comprimento) de um vetor e divisão de um vetor por um escalar (normalização).

Passo 2

Primeiro vamos calcular a soma \vec{u}+\vec{v}. Somar vetores no plano é somar coordenada a coordenada:
\vec{u}+\vec{v}=\left(1,\frac{1}{2}\right)+(2,3)=\left(1+2,\\ \frac{1}{2}+3\right).
Agora realizamos as somas das coordenadas:
1+2=3,\qquad \frac{1}{2}+3=\frac{1}{2}+\frac{6}{2}=\frac{7}{2}.
Portanto
\vec{u}+\vec{v}=\left(3,\frac{7}{2}\right).

Passo 3

Agora precisamos da norma (ou comprimento) do vetor \vec{u}+\vec{v}. Lembrete da definição: para um vetor \vec{w}=(w_1,w_2) em \mathbb{R}^2,
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2}.
Aplicando essa fórmula a \vec{u}+\vec{v}=\left(3,\frac{7}{2}\right):
\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{3^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2} =\sqrt{9+\frac{49}{4}}.

Passo 4

Calculemos a soma dentro da raiz escrevendo com denominador comum:
9+\frac{49}{4}=\frac{36}{4}+\frac{49}{4}=\frac{85}{4}.
Portanto
\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{\frac{85}{4}}=\frac{\sqrt{85}}{2}.

Passo 5

Agora vamos analisar a expressão que aparece no enunciado:
\left\|\frac{\vec{u}+\vec{v}}{\|\vec{u}+\vec{v}\|}\right\|.
Isto é, estamos dividindo o vetor \vec{u}+\vec{v} pelo seu próprio comprimento \|\vec{u}+\vec{v}\|. Conceito importante: se \vec{w} é um vetor não nulo e c é um escalar, vale a propriedade
\|c\vec{w}\| = |c|\,\|\vec{w}\|.
No nosso caso c=\dfrac{1}{\|\vec{u}+\vec{v}\|} é um número positivo (pois norma é positiva), então |c|=c. Aplicando a propriedade:
\left\|\frac{\vec{u}+\vec{v}}{\|\vec{u}+\vec{v}\|}\right\| = \frac{1}{\|\vec{u}+\vec{v}\|}\,\|\vec{u}+\vec{v}\| =1.
Este é o passo conceitual: dividir um vetor pelo seu próprio comprimento produz um vetor de norma 1 (um vetor unitário na direção de \vec{u}+\vec{v}).

Passo 6

Para finalizar, se quiser verificar numericamente usando o valor encontrado em Passo 4:
\left\|\frac{\vec{u}+\vec{v}}{\|\vec{u}+\vec{v}\|}\right\| = \frac{\|\vec{u}+\vec{v}\|}{\|\vec{u}+\vec{v}\|} = \frac{\frac{\sqrt{85}}{2}}{\frac{\sqrt{85}}{2}}=1.

Resposta

1

Exercícios relacionados