Dados os vetores \vec{u}=(2,-1) e \vec{w}=(1,2), determine:
\vec{v}=\frac{1}{2}(3 \vec{u}+\vec{w})

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^2:
\vec{u}=(2,-1),\qquad \vec{w}=(1,2),
e pede para determinar
\vec{v}=\frac{1}{2}\bigl(3\vec{u}+\vec{w}\bigr).
Ou seja, só é preciso calcular a combinação linear indicada e escrever o vetor resultante. Vou fazer isso passo a passo, explicando cada operação.

Passo 2

Relembrando as regras básicas de operações com vetores no plano (isso é tudo que vai ser usado):
  • Se \vec{a}=(a_1,a_2) e k é um escalar, então a multiplicação escalar é feita componente a componente:
k\vec{a}=(k a_1,\; k a_2).
  • Se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), então a soma é
\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\; a_2+b_2).
  • A multiplicação escalar distribui sobre a soma:
\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}.
Essas regras são simples: aplica-se a operação em cada componente do par ordenado.

Passo 3

Calcular 3\vec{u}. Usando a regra da multiplicação escalar:
3\vec{u}=3\cdot(2,-1)=(3\cdot 2,\;3\cdot(-1))=(6,-3).

Passo 4

Calcular 3\vec{u}+\vec{w}. Somando componente a componente:
3\vec{u}+\vec{w}=(6,-3)+(1,2)=(6+1,\;-3+2)=(7,-1).

Passo 5

Agora multiplicar por \tfrac{1}{2}:
\vec{v}=\frac{1}{2}(7,-1)=\Bigl(\frac{1}{2}\cdot 7,\;\frac{1}{2}\cdot(-1)\Bigr)=\Bigl(\frac{7}{2},\;-\frac{1}{2}\Bigr).
Expliquei cada multiplicação: metade de 7 é \tfrac{7}{2} e metade de -1 é -\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, só pra ficar mais confiante): aplicar a distributividade desde o início:
\frac{1}{2}(3\vec{u}+\vec{w})=\frac{3}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{w}.
Calcular cada termo:
\frac{3}{2}\vec{u}=\frac{3}{2}(2,-1)=(3,-\tfrac{3}{2}), \qquad \frac{1}{2}\vec{w}=\frac{1}{2}(1,2)=(\tfrac{1}{2},1).
Somando:
(3,-\tfrac{3}{2})+(\tfrac{1}{2},1)=(3+\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{3}{2}+1)=(\tfrac{7}{2},\;-\tfrac{1}{2}),
que bate com o resultado anterior.

Resposta

\vec{v}=\left(\dfrac{7}{2},-\dfrac{1}{2}\right)

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