Encontre a norma do vetor \vec{v}=-10 \vec{\imath}+3 \vec{\jmath}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o vetor \vec{v} = -10\,\vec{\imath} + 3\,\vec{\jmath}.
  • Pede-se encontrar a norma (magnitude) de \vec{v}.

Passo 2

Entendendo os componentes:
  • Os vetores \vec{\imath} e \vec{\jmath} são os versores unitários nas direções x e y no plano.
  • Isso significa que o vetor \vec{v} tem componente x igual a -10 e componente y igual a 3. Podemos escrever isso como o par ordenado (-10,\,3).

Passo 3

Definição da norma (euclidiana) em \mathbb{R}^2:
  • A norma (ou magnitude) de um vetor \vec{v}=(v_x,\,v_y) é dada pela fórmula
\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}}.
  • Aqui v_x é a componente na direção x e v_y é a componente na direção y. Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras: a norma é a hipotenusa do triângulo com catetos v_x e v_y.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao vetor dado:
  • Identificamos v_x = -10 e v_y = 3.
  • Substituindo na fórmula:
\|\vec{v}\| = \sqrt{(-10)^{2} + 3^{2}}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo:
  • Calcule os quadrados: (-10)^{2} = 100 e 3^{2} = 9.
  • Some: 100 + 9 = 109.
  • Portanto obtemos a expressão dentro da raiz como 109.

Passo 6

Observação sobre simplificação:
  • O número 109 é primo (não tem fatores quadrados além de 1), então \sqrt{109} não se simplifica mais em raízes racionais.
  • Para uma aproximação decimal (útil em provas quando pedem valor numérico), \sqrt{109} \approx 10,4403\ldots. Arredondando a duas casas decimais: 10,44.

Resposta

\|\vec{v}\| = \sqrt{109} \approx 10,44

Exercícios relacionados