Dados o vértice B(-3,-2), o centro C(1,-2) e o comprimento da corda principal l=323 de uma hipérbole, deduzir as equações de suas assíntotas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o vértice B(-3,-2), o centro C(1,-2) e o comprimento da corda principal l=323 de uma hipérbole. Nosso objetivo é encontrar as equações das assíntotas dessa hipérbole. Para resolver isso, vamos precisar entender a estrutura da hipérbole, identificar seus parâmetros principais e aplicar as fórmulas adequadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a orientação da hipérbole. Observando os pontos fornecidos:
  • Centro C(1,-2)
  • Vértice B(-3,-2)
Como apenas a coordenada x muda, isso indica que a hipérbole é horizontal. A forma geral da equação de uma hipérbole horizontal é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
onde (h,k) é o centro da hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de a, que representa a distância do centro até o vértice. Calculamos essa distância usando as coordenadas do centro C(1,-2) e do vértice B(-3,-2):
a = |1 - (-3)| = 4
Então, a = 4.

Passo 4

Em seguida, usamos o comprimento da corda principal l = 323. Para hipérboles, a corda principal corresponde ao comprimento do semilatus retório, que é dado por:
l = 2b^2a
Vamos resolver para b^2:
b^2 = a cdot l2 = 4 cdot 3232 = 1286 = 643
Então, b^2 = 643.

Passo 5

Agora que temos a e b, podemos escrever as equações das assíntotas da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal, as assíntotas são dadas por:
y = k pm ba(x - h)
Substituindo os valores que encontramos:
  • h = 1
  • k = -2
  • a = 4
  • b = raiz643 = 8raiz3 = 8raiz33
Portanto:
y = -2 pm 8raiz334(x - 1) = -2 pm 2raiz33(x - 1)

Resposta

As equações das assíntotas da hipérbole são:
y = -2 + 2raiz33(x - 1)
e
y = -2 - 2raiz33(x - 1)

Exercícios relacionados