Dados o vértice
, o centro
e o comprimento da corda principal
de uma hipérbole, deduzir as equações de suas assíntotas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá o vértice
, o centro
e o comprimento da corda principal
de uma hipérbole. Nosso objetivo é encontrar as equações das assíntotas dessa hipérbole. Para resolver isso, vamos precisar entender a estrutura da hipérbole, identificar seus parâmetros principais e aplicar as fórmulas adequadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a orientação da hipérbole. Observando os pontos fornecidos:
- Centro
- Vértice
Como apenas a coordenada
muda, isso indica que a hipérbole é horizontal. A forma geral da equação de uma hipérbole horizontal é:
onde
é o centro da hipérbole.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de
, que representa a distância do centro até o vértice. Calculamos essa distância usando as coordenadas do centro
e do vértice
:
Então,
.
Passo 4
Em seguida, usamos o comprimento da corda principal
. Para hipérboles, a corda principal corresponde ao comprimento do semilatus retório, que é dado por:
Vamos resolver para
:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever as equações das assíntotas da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal, as assíntotas são dadas por:
Substituindo os valores que encontramos:
Portanto:
Resposta
As equações das assíntotas da hipérbole são:
e