Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
© Centro C(0,0) um foco em F(8,0) e um vértice em V(6,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever as equações de hipérboles com algumas condições específicas. A gente vai precisar usar a matéria de Equações de Hipérboles, que envolve entender os conceitos de centro, vértices e focos. Basicamente, vamos identificar os parâmetros que definem a hipérbole e usar as fórmulas certas para chegar na equação final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
  • Centro x^2a^2 - y^2b^2 = 1
  • Um foco
  • Um vértice
Como os pontos estão no eixo x, a hipérbole é horizontal. A equação padrão de uma hipérbole horizontal é:
Aqui, é a distância do centro até o vértice, e é a distância do centro até o foco.

Passo 3

Vamos encontrar o valor de a = distância do centro ao vértice = 6 :
âé
Então, e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar c = distância do centro ao foco = 8 :
â
Então, e .

Passo 5

Precisamos encontrar c^2 = a^2 + b^2 . Sabemos que para hipérboles:
64 = 36 + b^2 b^2 = 64 - 36 b^2 = 28
Substituindo os valores que já temos:

Passo 6

Agora que temos x^236 - y^228 = 1 e , podemos substituir na equação padrão:

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^236 - y^228 = 1

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