(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo (cos pi8+i cdot sen pi8)^n é negativa é:

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: queremos encontrar o menor número inteiro positivo para o qual a parte imaginária do número complexo seja negativa. Para resolver isso, vamos usar a Fórmula de De Moivre, que nos ajuda a calcular potências de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Fórmula de De Moivre. Ela diz que para qualquer número complexo na forma , sua potência (cos theta + i cdot sen theta)^n = cos(ntheta) + i cdot sen(ntheta) pode ser calculada como:
Isso significa que, ao elevar o número complexo a uma potência, apenas o ângulo é multiplicado por .

Passo 3

Aplicando a Fórmula de De Moivre ao nosso número complexo, temos:
A parte imaginária desse número é . Queremos que essa parte seja negativa.

Passo 4

Sabemos que a funç��o seno é negativa quando o ângulo está nos quadrantes III e IV do círculo trigonométrico, ou seja, quando:
pi < n cdot pi8 < 2pi
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de que satisfazem a condição.

Passo 5

Dividindo toda a desigualdade por 1 < n8 < 2 :
8 < n < 16
Multiplicando todos os termos por 8:
Isso significa que deve ser um número inteiro entre 9 e 15 para que seja negativo.

Passo 6

Agora, queremos o menor número inteiro positivo que satisfaz essa condição. O menor número inteiro maior que 8 é 9. Vamos verificar:
Sabemos que sen(9 cdot pi8) = sen(9pi8) está no terceiro quadrante, onde o seno é negativo. Portanto, é o menor número que atende ao critério.

Resposta

O menor número inteiro positivo é 9.

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