Sejam
e
dois vetores não nulos,
o ângulo entre eles e
.
a) Usando somente o Teorema de Pitágoras mostre que
b) Mostre que
.
c) Usando somente os itens anteriores prove a Lei dos Cossenos:
a) Usando somente o Teorema de Pitágoras mostre que
c) Usando somente os itens anteriores prove a Lei dos Cossenos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem dois vetores,
e
, e o ângulo entre eles é
. Também temos
, que é a projeção de
em
. A matéria aqui envolve geometria vetorial, especificamente projeções e o Teorema de Pitágoras. Vamos precisar entender como decompor vetores e aplicar o Teorema de Pitágoras para relacionar as magnitudes desses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos usar o Teorema de Pitágoras para mostrar duas igualdades envolvendo as magnitudes dos vetores.
Passo 3
O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. No nosso caso, podemos pensar no vetor
como a hipotenusa e nos vetores
e
como os catetos.
Passo 4
Então, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
Isso mostra a primeira igualdade que queríamos provar.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte da parte (a). Vamos considerar o vetor
. Podemos decompô-lo em
e
. Novamente, aplicando o Teorema de Pitágoras:
E assim, provamos a segunda igualdade.
Passo 6
Passando para a parte (b). Queremos mostrar que:
Sabemos que
é a projeção de
sobre
, que é dado por:
A magnitude dessa projeção é:
Passo 7
Então, a diferença
representa a parte de
que é perpendicular a
. A magnitude dessa diferença é:
Como estamos falando de magnitudes, usamos o valor absoluto para garantir que o resultado seja positivo:
Passo 8
Finalmente, vamos para a parte ©, onde vamos usar os resultados anteriores para provar a Lei dos Cossenos. Sabemos que:
A partir da parte (a), temos:
Portanto, usando apenas o que já provamos, conseguimos chegar à Lei dos Cossenos.
Resposta
A Lei dos Cossenos foi provada utilizando o Teorema de Pitágoras e as propriedades da projeção de vetores: