Dados os vetores
e
, determine:
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- Calcular
. - Calcular
.
As informações dadas (peguei os vetores do enunciado) são:
-
. -
. -
(essa última está no enunciado, mas não é necessária para os produtos pedidos).
Passo 2
Definição e fórmula do produto escalar (dot product) em componentes:
Sejam dois vetores em ,
e
.
O produto escalar é definido por
Sejam dois vetores em
O produto escalar é definido por
Explicando cada símbolo:
-
são as componentes do vetor (respectivamente primeira, segunda e terceira componentes). -
são as componentes do vetor . - Multiplica-se cada componente correspondente e soma-se os resultados.
Observação útil (intuição): geometricamente
, onde
é o ângulo entre eles. Mas para calcular numericamente em prova, usa-se a fórmula componente a componente acima (mais prática).
Passo 3
Calcular
usando a fórmula componente a componente.
Aqui ,
,
;
,
,
. Então
Aqui
Substituindo:
Calcule passo a passo os termos:
Somando:
Passo 4
Calcular
da mesma forma. Aqui
,
,
;
,
,
. Então
Substituindo:
Calcule os termos:
Somando:
Passo 5
Comentário sobre propriedade: o produto escalar em
é comutativo, ou seja
o que se vê diretamente na soma componente a componente (trocar as ordens dos fatores não muda o produto). Aqui isso ocorre:
.