Dados os vetores \mathbf{a}=[2,1,4], \mathbf{b}=[-4,0,3] e \mathbf{c}=[3,-2,1], determine:
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} e \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Calcular \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}.
  • Calcular \mathbf{b}\cdot\mathbf{a}.
As informações dadas (peguei os vetores do enunciado) são:
  • \mathbf{a} = [2,1,4].
  • \mathbf{b} = [-4,0,3].
  • \mathbf{c} = [3,-2,1] (essa última está no enunciado, mas não é necessária para os produtos pedidos).

Passo 2

Definição e fórmula do produto escalar (dot product) em componentes:
Sejam dois vetores em \mathbb{R}^3,
\mathbf{u} = [u_1,u_2,u_3] e \mathbf{v} = [v_1,v_2,v_3].
O produto escalar é definido por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
Explicando cada símbolo:
  • u_1,u_2,u_3 são as componentes do vetor \mathbf{u} (respectivamente primeira, segunda e terceira componentes).
  • v_1,v_2,v_3 são as componentes do vetor \mathbf{v}.
  • Multiplica-se cada componente correspondente e soma-se os resultados.
Observação útil (intuição): geometricamente \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles. Mas para calcular numericamente em prova, usa-se a fórmula componente a componente acima (mais prática).

Passo 3

Calcular \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} usando a fórmula componente a componente.
Aqui a_1=2, a_2=1, a_3=4; b_1=-4, b_2=0, b_3=3. Então
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Substituindo:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2\cdot(-4) + 1\cdot 0 + 4\cdot 3.
Calcule passo a passo os termos:
2\cdot(-4) = -8,\qquad 1\cdot 0 = 0,\qquad 4\cdot 3 = 12.
Somando:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = -8 + 0 + 12 = 4.

Passo 4

Calcular \mathbf{b}\cdot\mathbf{a} da mesma forma. Aqui b_1=-4, b_2=0, b_3=3; a_1=2, a_2=1, a_3=4. Então
\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}=b_1 a_1 + b_2 a_2 + b_3 a_3.
Substituindo:
\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}=(-4)\cdot 2 + 0\cdot 1 + 3\cdot 4.
Calcule os termos:
(-4)\cdot 2 = -8,\qquad 0\cdot 1 = 0,\qquad 3\cdot 4 = 12.
Somando:
\mathbf{b}\cdot\mathbf{a} = -8 + 0 + 12 = 4.

Passo 5

Comentário sobre propriedade: o produto escalar em \mathbb{R}^n é comutativo, ou seja
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u},
o que se vê diretamente na soma componente a componente (trocar as ordens dos fatores não muda o produto). Aqui isso ocorre: \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}=4.

Resposta

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=4
\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}=4

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