Dados os vetores \mathbf{a}=[2,1,4], \mathbf{b}=[-4,0,3] e \mathbf{c}=[3,-2,1], determine:
|\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}| e \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{c}\|

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os vetores do enunciado):
  • Vetores:
    • \mathbf{a}=[2,1,4]
    • \mathbf{b}=[-4,0,3] (não será usada na conta pedida, mas estava no enunciado)
    • \mathbf{c}=[3,-2,1]
  • O enunciado pede:
    1. O valor de |\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}| (o valor absoluto do produto escalar entre \mathbf{a} e \mathbf{c}).
    2. O valor de \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{c}\| (o produto das normas de \mathbf{a} e \mathbf{c}).

Passo 2

Fórmula e ideia do produto escalar (dot product).
  • Se \mathbf{x}=[x_1,x_2,x_3] e \mathbf{y}=[y_1,y_2,y_3], o produto escalar é dado por
\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
  • Cada termo é o produto das componentes correspondentes; depois somam-se.
  • O produto escalar dá um número (escalar). O valor absoluto |\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}| é só o módulo desse número.

Passo 3

Calcular passo a passo \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}.
  • Identificando componentes: \mathbf{a}=[2,1,4] tem a_1=2,\;a_2=1,\;a_3=4. \mathbf{c}=[3,-2,1] tem c_1=3,\;c_2=-2,\;c_3=1.
  • Aplicando a fórmula:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3=2\cdot3+1\cdot(-2)+4\cdot1.
  • Calculando os termos:
    • 2\cdot3=6
    • 1\cdot(-2)=-2
    • 4\cdot1=4
  • Somando:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=6-2+4=8.

Passo 4

Obter |\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}|.
  • Já temos \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=8.
  • Então
|\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}|=|8|=8.

Passo 5

Fórmula e ideia da norma (comprimento) de um vetor.
  • Para \mathbf{x}=[x_1,x_2,x_3], a norma é
\|\mathbf{x}\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}.
  • Geometricamente, é o comprimento do vetor no espaço euclidiano.

Passo 6

Calcular \|\mathbf{a}\| e \|\mathbf{c}\| separadamente.
  • Para \mathbf{a}=[2,1,4]:
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{2^2+1^2+4^2}=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}.
  • Para \mathbf{c}=[3,-2,1]:
\|\mathbf{c}\|=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}.

Passo 7

Calcular o produto \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{c}\|.
  • Multiplicando as normas:
\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{c}\|=\sqrt{21}\,\sqrt{14}=\sqrt{21\cdot14}=\sqrt{294}.
  • Simplificando a raiz:
\sqrt{294}=\sqrt{49\cdot6}=7\sqrt{6}.
  • Portanto \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{c}\|=7\sqrt{6}.

Passo 8

Pequena verificação conceitual (motivação útil na prova).
  • A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que |\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}|\le \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{c}\|.
  • Aqui |\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}|=8 e \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{c}\|=7\sqrt{6}. Como 7\sqrt{6} é aproximadamente 17{,}15, a desigualdade é satisfeita — só uma checagem rápida para ver que não houve erro de sinal ou cálculo.

Resposta

|\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}|=8
\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{c}\|=7\sqrt{6}

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