Dados os vetores
e
, determine:
e
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei os vetores do enunciado):
- Vetores:
-
-
(não será usada na conta pedida, mas estava no enunciado) -
-
- O enunciado pede:
- O valor de
(o valor absoluto do produto escalar entre e ). - O valor de
(o produto das normas de e ).
- O valor de
Passo 2
Fórmula e ideia do produto escalar (dot product).
- Se
e , o produto escalar é dado por
- Cada termo é o produto das componentes correspondentes; depois somam-se.
- O produto escalar dá um número (escalar). O valor absoluto
é só o módulo desse número.
Passo 3
Calcular passo a passo
.
- Identificando componentes:
tem . tem . - Aplicando a fórmula:
- Calculando os termos:
-
- Somando:
Passo 4
Obter
.
- Já temos
. - Então
Passo 5
Fórmula e ideia da norma (comprimento) de um vetor.
- Para
, a norma é
- Geometricamente, é o comprimento do vetor no espaço euclidiano.
Passo 6
Calcular
e
separadamente.
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Calcular o produto
.
- Multiplicando as normas:
- Simplificando a raiz:
- Portanto
.
Passo 8
Pequena verificação conceitual (motivação útil na prova).
- A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que
. - Aqui
e . Como é aproximadamente , a desigualdade é satisfeita — só uma checagem rápida para ver que não houve erro de sinal ou cálculo.