Considere os vetores \mathbf{a}=[2,-1,0], \mathbf{b}=[-4,2,5] e \mathbf{c}=[0,0,3]. Encontre:
2 \mathbf{a}-\mathbf{b}-\frac{1}{2} \mathbf{c}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores e pede uma combinação linear. Dados (peguei estes vetores do enunciado):
\mathbf{a} = [2,-1,0], \mathbf{b} = [-4,2,5], \mathbf{c} = [0,0,3].
O que se pede: calcular
2\mathbf{a}-\mathbf{b}-\tfrac{1}{2}\mathbf{c}.

Passo 2

Vamos lembrar a regra básica que vou usar (a aula rápida): multiplicação escalar e soma/subtração de vetores são feitas componente a componente. Ou seja, se \mathbf{v}=[v_1,v_2,v_3] e k é um número, então
k\mathbf{v} = [k v_1,\, k v_2,\, k v_3],
e se \mathbf{u}=[u_1,u_2,u_3] então
\mathbf{u}+\mathbf{v} = [u_1+v_1,\, u_2+v_2,\, u_3+v_3],
logo \mathbf{u}-\mathbf{v}=[u_1-v_1,\,u_2-v_2,\,u_3-v_3].
Isto significa que posso trabalhar em cada componente separadamente.

Passo 3

Calcular 2\mathbf{a} aplicando a multiplicação escalar componente a componente:
2\mathbf{a} = 2\cdot[2,-1,0] = [2\cdot 2,\,2\cdot(-1),\,2\cdot 0] = [4,-2,0].

Passo 4

Calcular a subtração por \mathbf{b}. Uma forma clara é primeiro obter -\mathbf{b}:
-\mathbf{b} = -1\cdot[-4,2,5] = [4,-2,-5].
Agora somar isso a 2\mathbf{a}:
2\mathbf{a}-\mathbf{b} = [4,-2,0] + [4,-2,-5] = [4+4,\,-2+(-2),\,0+(-5)] = [8,-4,-5].

Passo 5

Calcular \tfrac{1}{2}\mathbf{c} aplicando a multiplicação escalar:
\tfrac{1}{2}\mathbf{c} = \tfrac{1}{2}\cdot[0,0,3] = [0,0,\tfrac{3}{2}].

Passo 6

Subtrair \tfrac{1}{2}\mathbf{c} do resultado parcial [8,-4,-5]. Fazendo componente a componente:
[8,-4,-5] - [0,0,\tfrac{3}{2}] = [8-0,\,-4-0,\,-5-\tfrac{3}{2}].
Para a terceira componente, converte-se para frações:
-5-\tfrac{3}{2} = -\tfrac{10}{2}-\tfrac{3}{2} = -\tfrac{13}{2}.
Portanto o resultado final é
[8,-4,-\tfrac{13}{2}].

Resposta

\,[8,-4,-\tfrac{13}{2}]\,

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