Mostre que:
(a) \mathbf{u} \times(\nabla \times \mathbf{u})=\frac{1}{2} \nabla\left(u^{2}\right)-(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial abaixo (não há mais dados numéricos, só a função vetorial \mathbf{u}(\mathbf{x})):
\mathbf{u} \times(\nabla \times \mathbf{u})=\frac{1}{2} \nabla\bigl(u^{2}\bigr)-(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}.
Informações relevantes que temos a usar:
  • \mathbf{u}(\mathbf{x}) é um campo vetorial com componentes \,u_i(\mathbf{x}).
  • \nabla tem componentes \partial_i=\dfrac{\partial}{\partial x_i}.
  • A expressão u^{2} significa o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=u_i u_i (soma sobre índices repetidos).
  • Vamos provar a identidade componente a componente.

Passo 2

Vou introduzir e explicar brevemente a notação de índices que vou usar (isso facilita a prova e é padrão em cálculo vetorial):
  • As componentes de \mathbf{u} são \,u_i com i=1,2,3.
  • A convenção de Einstein: índices repetidos implicam soma (por exemplo \,u_i u_i = \sum_{i=1}^3 u_i^2).
  • O rotacional tem componentes (\nabla\times\mathbf{u})_k=\varepsilon_{k m n}\partial_m u_n, onde \varepsilon_{k m n} é o símbolo de Levi-Civita (antisimétrico).
  • O produto vetorial tem componentes (\mathbf{a}\times\mathbf{b})_i=\varepsilon_{i j k} a_j b_k.
  • A identidade útil para dois símbolos de Levi-Civita é
\varepsilon_{i j k}\varepsilon_{k m n}=\delta_{i m}\delta_{j n}-\delta_{i n}\delta_{j m},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j, senão 0). Essa identidade será usada para simplificar produtos de dois \varepsilon.

Passo 3

Escrevemos a componente i-ésima do lado esquerdo \mathbf{u}\times(\nabla\times\mathbf{u}) usando as definições:
\bigl[\mathbf{u}\times(\nabla\times\mathbf{u})\bigr]_i=\varepsilon_{i j k}\,u_j\,(\nabla\times\mathbf{u})_k.

Passo 4

Substituímos a expressão do rotacional (\nabla\times\mathbf{u})_k=\varepsilon_{k m n}\partial_m u_n:
\bigl[\mathbf{u}\times(\nabla\times\mathbf{u})\bigr]_i=\varepsilon_{i j k}\,u_j\,\varepsilon_{k m n}\,\partial_m u_n.

Passo 5

Aplicamos a identidade entre os dois \varepsilon:
\varepsilon_{i j k}\varepsilon_{k m n}=\delta_{i m}\delta_{j n}-\delta_{i n}\delta_{j m}.
Logo
\bigl[\mathbf{u}\times(\nabla\times\mathbf{u})\bigr]_i=(\delta_{i m}\delta_{j n}-\delta_{i n}\delta_{j m})\,u_j\,\partial_m u_n.

Passo 6

Simplificamos os deltas contra índices:
\bigl[\mathbf{u}\times(\nabla\times\mathbf{u})\bigr]_i = u_j\,\partial_i u_j - u_j\,\partial_j u_i.
Reescrevendo os termos com notação mais clara:
  • O segundo termo é exatamente a componente i de (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}, pois
\bigl[(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\bigr]_i = u_j\,\partial_j u_i.
  • O primeiro termo é u_j\,\partial_i u_j.

Passo 7

Mostrar que o termo u_j\,\partial_i u_j pode ser escrito como \tfrac{1}{2}\partial_i(u_j u_j). Usamos a regra do produto e o fato de que u_j u_j tem derivada
\partial_i(u_j u_j)=2\,u_j\,\partial_i u_j.
Dividindo por 2,
u_j\,\partial_i u_j=\tfrac{1}{2}\partial_i(u_j u_j)=\tfrac{1}{2}\partial_i\bigl(u^2\bigr).

Passo 8

Substituindo essa expressão na componente calculada em Passo 6 temos
\bigl[\mathbf{u}\times(\nabla\times\mathbf{u})\bigr]_i = \tfrac{1}{2}\partial_i\bigl(u^2\bigr) - \bigl[(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\bigr]_i.
Como isso vale para cada componente i, reescrevemos em forma vetorial:
\mathbf{u}\times(\nabla\times\mathbf{u})=\tfrac{1}{2}\nabla\bigl(u^{2}\bigr)-(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}.

Passo 9

Pequena interpretação para fixar a intuição (sem alterar a prova): o termo (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} é a derivada direcional de \mathbf{u} na direção de \mathbf{u} (aparece em dinâmica de fluidos como parte da aceleração convectiva). A identidade mostra como a combinação \mathbf{u}\times(\nabla\times\mathbf{u}) se separa numa parte gradiente de u^2 e numa parte convectiva.

Resposta

\mathbf{u} \times(\nabla \times \mathbf{u})=\frac{1}{2} \nabla\left(u^{2}\right)-(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}

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