Mostre que:
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial abaixo (não há mais dados numéricos, só a função vetorial
):
Informações relevantes que temos a usar:
-
é um campo vetorial com componentes . -
tem componentes . - A expressão
significa o produto escalar (soma sobre índices repetidos). - Vamos provar a identidade componente a componente.
Passo 2
Vou introduzir e explicar brevemente a notação de índices que vou usar (isso facilita a prova e é padrão em cálculo vetorial):
- As componentes de
são com . - A convenção de Einstein: índices repetidos implicam soma (por exemplo
). - O rotacional tem componentes
, onde é o símbolo de Levi-Civita (antisimétrico). - O produto vetorial tem componentes
. - A identidade útil para dois símbolos de Levi-Civita é
onde
é o delta de Kronecker (
se
, senão
). Essa identidade será usada para simplificar produtos de dois
.
Passo 3
Escrevemos a componente
-ésima do lado esquerdo
usando as definições:
Passo 4
Substituímos a expressão do rotacional
:
Passo 5
Aplicamos a identidade entre os dois
:
Logo
Passo 6
Simplificamos os deltas contra índices:
Reescrevendo os termos com notação mais clara:
- O segundo termo é exatamente a componente
de , pois
- O primeiro termo é
.
Passo 7
Mostrar que o termo
pode ser escrito como
. Usamos a regra do produto e o fato de que
tem derivada
Dividindo por
,
Passo 8
Substituindo essa expressão na componente calculada em Passo 6 temos
Como isso vale para cada componente
, reescrevemos em forma vetorial:
Passo 9
Pequena interpretação para fixar a intuição (sem alterar a prova): o termo
é a derivada direcional de
na direção de
(aparece em dinâmica de fluidos como parte da aceleração convectiva). A identidade mostra como a combinação
se separa numa parte gradiente de
e numa parte convectiva.