Sabendo que a equação
possui raízes iguais às quartas potências das raízes de
. A soma dos valores possíveis de A é igual a:
(a) 5391
(b) 5392
(c) 5393
(d) 5394
(e) 5395
(a) 5391
(b) 5392
(c) 5393
(d) 5394
(e) 5395
Passo 1
O enunciado dá duas equações quadráticas:
e
Diz que as raízes da primeira são as quartas potências das raízes da segunda. As perguntas são: encontrar todos os possíveis valores de
compatíveis com essa condição e calcular a soma desses valores.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Sejam
e as raízes da equação . Então e . - As raízes da equação
são e . Para essa equação, a soma das raízes é e o produto é .
Passo 2
Vou traduzir a condição em equações usando as relações de soma e produto de raízes.
Para
temos, pelas fórmulas clássicas:
e
Como
, concluímos imediatamente que
Portanto basta encontrar os possíveis valores de
que satisfaçam
e depois calcular
.
Passo 3
Expressar
em termos de
e
(ou seja, em termos de
e
).
Primeiro, calcula-se
usando a identidade
Substituindo
e
obtemos
Agora use a identidade
Como
, substituindo:
Desenvolvendo:
Passo 4
Impor a condição
. Assim:
Passando
para o lado esquerdo:
Dividindo por
:
Resolver a quadrática:
Assim as soluções são
Passo 5
Calcular
para cada valor de
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Somar os valores possíveis de
:
Portanto a soma pedida é
, que corresponde à alternativa (b).
Resposta
5392