Sabendo que a equação x^{2}-97 x+A=0 possui raízes iguais às quartas potências das raízes de x^{2}-x+B=0. A soma dos valores possíveis de A é igual a:
(a) 5391
(b) 5392
(c) 5393
(d) 5394
(e) 5395

Passo 1

O enunciado dá duas equações quadráticas:
x^{2}-97x+A=0
e
x^{2}-x+B=0.
Diz que as raízes da primeira são as quartas potências das raízes da segunda. As perguntas são: encontrar todos os possíveis valores de A compatíveis com essa condição e calcular a soma desses valores.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Sejam r e s as raízes da equação x^{2}-x+B=0. Então r+s=1 e rs=B.
  • As raízes da equação x^{2}-97x+A=0 são r^{4} e s^{4}. Para essa equação, a soma das raízes é 97 e o produto é A.

Passo 2

Vou traduzir a condição em equações usando as relações de soma e produto de raízes.
Para x^{2}-97x+A=0 temos, pelas fórmulas clássicas:
r^{4}+s^{4}=97
e
r^{4}s^{4}=A.
Como r s=B, concluímos imediatamente que
A=(r s)^{4}=B^{4}.
Portanto basta encontrar os possíveis valores de B que satisfaçam r^{4}+s^{4}=97 e depois calcular A=B^{4}.

Passo 3

Expressar r^{4}+s^{4} em termos de r+s e r s (ou seja, em termos de 1 e B).
Primeiro, calcula-se r^{2}+s^{2} usando a identidade
r^{2}+s^{2}=(r+s)^{2}-2rs.
Substituindo r+s=1 e rs=B obtemos
r^{2}+s^{2}=1^{2}-2B=1-2B.
Agora use a identidade
r^{4}+s^{4}=(r^{2}+s^{2})^{2}-2(r^{2}s^{2}).
Como r^{2}s^{2}=(rs)^{2}=B^{2}, substituindo:
r^{4}+s^{4}=(1-2B)^{2}-2B^{2}.
Desenvolvendo:
(1-2B)^{2}-2B^{2}=1-4B+4B^{2}-2B^{2}=1-4B+2B^{2}.

Passo 4

Impor a condição r^{4}+s^{4}=97. Assim:
1-4B+2B^{2}=97.
Passando 97 para o lado esquerdo:
2B^{2}-4B+1-97=0
2B^{2}-4B-96=0.
Dividindo por 2:
B^{2}-2B-48=0.
Resolver a quadrática:
B=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-48)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+192}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{196}}{2}=\frac{2\pm14}{2}.
Assim as soluções são
B=\frac{2+14}{2}=8 \qquad\text{e}\qquad B=\frac{2-14}{2}=-6.

Passo 5

Calcular A=B^{4} para cada valor de B.
Para B=8:
A=8^{4}=(8^{2})^{2}=64^{2}=4096.
Para B=-6:
A=(-6)^{4}=((-6)^{2})^{2}=36^{2}=1296.

Passo 6

Somar os valores possíveis de A:
4096+1296=5392.
Portanto a soma pedida é 5392, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

5392

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