2- Identifique a cônica:
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para identificar a cônica.
Informações extraídas do enunciado (vou listar os coeficientes na forma geral)
Informações extraídas do enunciado (vou listar os coeficientes na forma geral)
O que se pede: dizer qual é o tipo da cônica (parábola, elipse, hipérbole ou outro) e, idealmente, obter sua forma canônica/elementos principais (vértice, direção do eixo, etc.).
Passo 2
Usar o discriminante para cônicas: a quantidade
ajuda a classificar a cônica (quando a equação é não degenerada):
- se
→ hipérbole; - se
→ parábola; - se
→ elipse (ou círculo, se e ).
Calculemos
com os coeficientes que listamos:
Como
, isso indica que a cônica é uma parábola (ou um caso degenerado de parábola). Vamos confirmar e obter a forma canônica explicitamente.
Passo 3
Olhemos para a parte quadrática e tentemos manipular:
Reconhece-se que isto é um quadrado perfeito, pois
Portanto a equação original pode ser reescrita como
Isso já mostra que só aparece um quadrado (grau 2 efetivamente em apenas uma combinação linear das variáveis), consistente com uma parábola. Para obter a forma canônica é conveniente trocar de variáveis para separar essa combinação linear.
Passo 4
Definimos novas variáveis alinhadas com as combinações lineares naturais:
Observação didática: escolhemos [v=4x+3y) porque o vetor
é ortogonal ao vetor
(produto escalar
). Assim
é uma mudança ortogonal de variáveis (rotação e escala), que simplifica a parte quadrática.
Precisamos das expressões de
em termos de
. O sistema linear
tem determinante (25]. Invertendo a matriz obtemos
]
Passo 5
Substituímos
nas partes lineares
. Façamos isso com cuidado:
Calculemos numerador por numerador:
Somando e dividindo por
:
Logo a equação original em
fica
ou seja
Isolando
,
Passo 6
Coloquemos em forma canônica completando o quadrado:
Reescrevendo como forma padrão de parábola:
Comparando com a forma padrão
, temos
,
e
, portanto
. Assim:
- é uma parábola com vértice em
nas coordenadas rotacionadas; - abre na direção de
crescente (pois coeficiente de é positivo); - o eixo da parábola, na coordenada original
, tem direção dada pelo vetor correspondente ao aumento de , isto é o vetor .
Passo 7
Retornando para as coordenadas originais, o vértice
corresponde a
Portanto o vértice na base
é
.
Podemos também escrever a forma canônica explicitando a mudança de variáveis:
Resposta
Parábola. Forma canônica
com
e
. Vértice em
. Eixo na direção do vetor
.