2- Identifique a cônica:
9 x^{2}-24 x y+16 y^{2}-16 x+13 y-5=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação
9x^{2}-24xy+16y^{2}-16x+13y-5=0
e pede para identificar a cônica.
Informações extraídas do enunciado (vou listar os coeficientes na forma geral)
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0:
  • A=9
  • B=-24
  • C=16
  • D=-16
  • E=13
  • F=-5
O que se pede: dizer qual é o tipo da cônica (parábola, elipse, hipérbole ou outro) e, idealmente, obter sua forma canônica/elementos principais (vértice, direção do eixo, etc.).

Passo 2

Usar o discriminante para cônicas: a quantidade
\Delta = B^{2}-4AC
ajuda a classificar a cônica (quando a equação é não degenerada):
  • se \Delta>0 → hipérbole;
  • se \Delta=0 → parábola;
  • se \Delta<0 → elipse (ou círculo, se A=C e B=0).
Calculemos \Delta com os coeficientes que listamos:
\Delta = (-24)^{2}-4\cdot 9\cdot 16 = 576-576=0.
Como \Delta=0, isso indica que a cônica é uma parábola (ou um caso degenerado de parábola). Vamos confirmar e obter a forma canônica explicitamente.

Passo 3

Olhemos para a parte quadrática e tentemos manipular:
9x^{2}-24xy+16y^{2}.
Reconhece-se que isto é um quadrado perfeito, pois
(3x-4y)^{2}=9x^{2}-24xy+16y^{2}.
Portanto a equação original pode ser reescrita como
(3x-4y)^{2}-16x+13y-5=0.
Isso já mostra que só aparece um quadrado (grau 2 efetivamente em apenas uma combinação linear das variáveis), consistente com uma parábola. Para obter a forma canônica é conveniente trocar de variáveis para separar essa combinação linear.

Passo 4

Definimos novas variáveis alinhadas com as combinações lineares naturais:
u=3x-4y,\qquad v=4x+3y.
Observação didática: escolhemos [v=4x+3y) porque o vetor (4,3) é ortogonal ao vetor (3,-4) (produto escalar 3\cdot4+(-4)\cdot3=0). Assim (u,v) é uma mudança ortogonal de variáveis (rotação e escala), que simplifica a parte quadrática.
Precisamos das expressões de x,y em termos de u,v. O sistema linear
\begin{cases} 3x-4y=u,\\[4pt] 4x+3y=v \end{cases}
tem determinante (25]. Invertendo a matriz obtemos
x=\frac{3u+4v}{25},\qquad y=\frac{-4u+3v}{25}.]

Passo 5

Substituímos x,y nas partes lineares -16x+13y. Façamos isso com cuidado:
-16x+13y = -16\cdot\frac{3u+4v}{25} + 13\cdot\frac{-4u+3v}{25}.
Calculemos numerador por numerador:
-16(3u+4v) = -48u-64v,
13(-4u+3v) = -52u+39v.
Somando e dividindo por 25:
-16x+13y = \frac{(-48u-64v)+(-52u+39v)}{25} = \frac{-100u-25v}{25} = -4u - v.
Logo a equação original em (u,v) fica
u^{2} + (-4u - v) -5 = 0,
ou seja
u^{2}-4u - v -5 = 0.
Isolando v,
v = u^{2}-4u-5.

Passo 6

Coloquemos em forma canônica completando o quadrado:
v = u^{2}-4u-5 = (u-2)^{2}-4-5 = (u-2)^{2}-9.
Reescrevendo como forma padrão de parábola:
(u-2)^{2} = v + 9.
Comparando com a forma padrão (u-u_{0})^{2}=4p(v-v_{0}), temos u_{0}=2, v_{0}=-9 e 4p=1, portanto p=\tfrac{1}{4}. Assim:
  • é uma parábola com vértice em (u,v)=(2,-9) nas coordenadas rotacionadas;
  • abre na direção de v crescente (pois coeficiente de (u-2)^{2} é positivo);
  • o eixo da parábola, na coordenada original (x,y), tem direção dada pelo vetor correspondente ao aumento de v, isto é o vetor (4,3).

Passo 7

Retornando para as coordenadas originais, o vértice (u,v)=(2,-9) corresponde a
x=\frac{3\cdot 2 +4\cdot(-9)}{25}=\frac{6-36}{25}=\frac{-30}{25}=-\frac{6}{5},
y=\frac{-4\cdot 2 +3\cdot(-9)}{25}=\frac{-8-27}{25}=\frac{-35}{25}=-\frac{7}{5}.
Portanto o vértice na base (x,y) é \left(-\tfrac{6}{5},-\tfrac{7}{5}\right).
Podemos também escrever a forma canônica explicitando a mudança de variáveis:
\text{Forma canônica:}\qquad v=(u-2)^{2}-9,\qquad\text{com }u=3x-4y,\\ v=4x+3y.ô

Resposta

Parábola. Forma canônica v=(u-2)^{2}-9 com u=3x-4y e v=4x+3y. Vértice em \left(-\tfrac{6}{5},-\tfrac{7}{5}\right). Eixo na direção do vetor (4,3).

Exercícios relacionados