Dados os vetores \overrightarrow{\mathrm{u}}=(3,-1,2) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(-2,2,1), calcular
a) a área do paralelogramo determinado por \vec{u} \quad e \vec{v};
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor \vec{v}.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \overrightarrow{u}=(3,-1,2) e \overrightarrow{v}=(-2,2,1). Pede-se:
  • (a) a área do paralelogramo determinado por \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v};
  • (b) a altura desse paralelogramo relativa à base definida pelo vetor \overrightarrow{v}.
Informações relevantes dadas:
  • \overrightarrow{u}=(3,-1,2).
  • \overrightarrow{v}=(-2,2,1).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A área do paralelogramo determinado por dois vetores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} em \mathbb{R}^3 é o módulo do produto vetorial entre eles. Ou seja,
\text{Área}=\|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\|.Á
  • O produto vetorial \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} é um vetor perpendicular a ambos e pode ser calculado pela regra do determinante:
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},
onde u_1,u_2,u_3 e v_1,v_2,v_3 são as componentes de \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}. Explicando cada termo:
  • A componente na direção \mathbf{i} é u_2 v_3 - u_3 v_2.
  • A componente na direção \mathbf{j} é -(u_1 v_3 - u_3 v_1).
  • A componente na direção \mathbf{k} é u_1 v_2 - u_2 v_1.

Passo 3

Calcular \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} passo a passo, usando \overrightarrow{u}=(3,-1,2) e \overrightarrow{v}=(-2,2,1).
Componente \mathbf{i}:
u_2 v_3 - u_3 v_2 = (-1)\cdot 1 - 2\cdot 2 = -1 - 4 = -5.
Componente \mathbf{j}:
-(u_1 v_3 - u_3 v_1) = -\big(3\cdot 1 - 2\cdot(-2)\big) = -\big(3 + 4\big) = -7.
Componente \mathbf{k}:
u_1 v_2 - u_2 v_1 = 3\cdot 2 - (-1)\cdot(-2) = 6 - 2 = 4.
Portanto
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=(-5,-7,4).

Passo 4

Agora calculamos o módulo de \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}, que é a área do paralelogramo.
Módulo do vetor (-5,-7,4):
\|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\|=\sqrt{(-5)^2+(-7)^2+4^2}=\sqrt{25+49+16}=\sqrt{90}.
Simplificando \sqrt{90}:
\sqrt{90}=\sqrt{9\cdot 10}=3\sqrt{10}.
Logo a área do paralelogramo é 3\sqrt{10}.

Passo 5

Agora encontramos a altura do paralelogramo relativa à base definida por \overrightarrow{v}.
A relação entre área, base e altura é a conhecida:
\text{Área} = \|\overrightarrow{v}\|\cdot h,Á
onde h é a altura relativa à base de comprimento \|\overrightarrow{v}\|. Assim
h=\frac{\text{Área}}{\|\overrightarrow{v}\|}.Á
Calcular \|\overrightarrow{v}\| para \overrightarrow{v}=(-2,2,1):
\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{(-2)^2+2^2+1^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.
Portanto a altura é
h=\frac{3\sqrt{10}}{3}=\sqrt{10}.

Passo 6

Resumo final e interpretação curta (para lembrar na prova):
  • A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial; calcular o produto vetorial por determinante e depois o módulo.
  • A altura relativa a uma base é simplesmente a área dividida pelo comprimento da base.
Força aí — já tá pronto o raciocínio que normalmente cai nessa prova: produto vetorial → módulo → dividir pelo comprimento da base.

Resposta

(a) 3\sqrt{10}
(b) \sqrt{10}

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