Seja T: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) definida por T(A)=B A, onde
B=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\\\ -2 & 2 \end{array}\right) .
Determine bases para o núcleo e a imagem.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: M_{2\times2}(\mathbb{R})\to M_{2\times2}(\mathbb{R}) definida por
T(A)=B A,
com
B=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix}.
Pede-se: determinar bases para o núcleo de T (conjunto de A tais que T(A)=0) e para a imagem de T (conjunto dos T(A)). Também é útil lembrar que M_{2\times2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4.]

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): ao multiplicar B por uma matriz A, a multiplicação à esquerda age coluna a coluna. Se escrever
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}=\bigl[v_1\\ \\ v_2\bigr],
onde v_1=\begin{pmatrix}a\\[4pt]c\end{pmatrix} é a primeira coluna e v_2=\begin{pmatrix}b\\[4pt]d\end{pmatrix} é a segunda coluna, então
BA=\bigl[Bv_1\\ \\ Bv_2\bigr].
Portanto, compreender T reduz-se a entender a ação de B como transformação linear \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2: o núcleo de T são as matrizes cujas colunas ficam no núcleo de B; a imagem de T é formada por matrizes cujas colunas pertencem ao espaço-imagem (coluna) de B.]

Passo 3

Calcular o núcleo de B\). Queremos vetores \(v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}\) tais que \(Bv=0\). Escrevendo o sistema: \[\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}
isto é, as equações
\begin{cases} x-y=0,\\[4pt] -2x+2y=0. \end{cases}
A segunda equação é múltipla da primeira, então a única condição é x-y=0\], ou seja \(x=y. Logo
\ker(B)=\{\,t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}:t\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 4

Caracterizar \ker(T) usando o resultado anterior. Como as colunas de A devem estar em \ker(B), cada coluna de A é um múltiplo de \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Portanto existem s,t\in\mathbb{R} tais que
A=\begin{pmatrix}s & t\\[4pt]s & t\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Isto mostra que \ker(T) é o espaço gerado pelos dois matrizes
E_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida de independência linear: se \alpha E_1+\beta E_2=0 então olhando a primeira coluna obtém-se \alpha\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=0 logo \alpha=0; olhando a segunda coluna obtém-se \beta\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=0 logo \beta=0. Assim \{E_1,E_2\} é base de \ker(T). Concluímos \dim\ker(T)=2.]

Passo 5

Determinar a imagem de T. Observação: as colunas de BA são B vezes as colunas de A; portanto cada coluna de uma matriz da imagem pertence ao espaço-coluna de B, isto é \operatorname{Im}(B). Vamos calcular \operatorname{Im}(B): as colunas de B são
B_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad B_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}=-1\cdot B_1,
logo
\operatorname{Im}(B)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}\right\}.
Portanto toda matriz da imagem de T tem colunas que são múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}. Escrevendo colunas livres u,v\in\mathbb{R},
BA=\begin{pmatrix}u & v\\[4pt]-2u & -2v\end{pmatrix} = u\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix}+ v\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.
Assim uma base natural da imagem é
F_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix},\qquad F_2=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.
Verifica-se que são linearmente independentes e geram todos os possíveis pares de múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} nas colunas; logo \dim\operatorname{Im}(T)=2.]

Passo 6

Checagem pela fórmula dimensão: \dim M_{2\times2}(\mathbb{R})=4. Encontramos \dim\ker(T)=2 e \dim\operatorname{Im}(T)=2, e de fato 2+2=4, compatível com o teorema do posto e da nulidade (rank-nullity). Isso confirma que as bases encontradas estão coerentes.

Resposta

\text{Base do núcleo: }\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\right\}ú
\text{Base da imagem: }\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}\right\}]

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