Sejam
\alpha=\{(1,-1),(0,2)\} \quad \text { e } \quad \beta=\{(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0)\}
bases ordenadas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, respectivamente. Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear tal que
[T]_{\alpha}^{\beta}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 1 & 1 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right)
(a) Determine T(x, y).
(b) Se S(x, y)=(2 y, x-y, x), determine [S]_{\alpha}^{\beta}.
(c) Determine uma base \gamma de \mathbb{R}^{3} tal que
[T]_{\alpha}^{\gamma}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas
\alpha=\{(1,-1),(0,2)\}\subset\mathbb{R}^2,\qquad \beta=\{(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0)\}\subset\mathbb{R}^3,
e a matriz de uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 relativa a essas bases:
[T]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 \end{pmatrix}.
O enunciado pede três coisas:
(a) determinar T(x,y) em coordenadas padrão de \mathbb{R}^3;
(b) dado S(x,y)=(2y,x-y,x), determinar [S]_{\alpha}^{\beta};
(c) encontrar uma base \gamma de \mathbb{R}^3 tal que
[T]_{\alpha}^{\gamma}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Lembrete conceitual (muito importante): a matriz [T]_{\alpha}^{\beta} age sobre o vetor de coordenadas de um vetor v\in\mathbb{R}^2 em relação à base \alpha e produz o vetor de coordenadas de T(v) em relação à base \beta. Ou seja, se [v]_{\alpha} é o vetor coluna das coordenadas de v na base \alpha, então
[T]_{\alpha}^{\beta}\,[v]_{\alpha}=[T(v)]_{\beta}.
Para obter T(v) em coordenadas padrão é preciso:
  1. escrever v=(x,y) como combinação linear dos vetores de \alpha (achar [v]_{\alpha});
  2. multiplicar pela matriz [T]_{\alpha}^{\beta} para obter [T(v)]_{\beta};
  3. expressar esse resultado como combinação linear dos vetores de \beta para recuperar T(v) em coordenadas padrão.

Passo 3

Calcular [v]_{\alpha}\) para \(v=(x,y)\). Procuramos escalares \(c_1,c_2\) tais que \[(x,y)=c_1(1,-1)+c_2(0,2).
Isso gera o sistema
\begin{cases} c_1 = x,\\[4pt] -\,c_1+2c_2 = y. \end{cases}
Da primeira equação (c_1=x]. Substituindo na segunda:
- x + 2c_2 = y \quad\Rightarrow\quad c_2 = \frac{x+y}{2}.
Portanto
[v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]\dfrac{x+y}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Multiplicar a matriz de T pela coordenada [v]_{\alpha} para obter as coordenadas de T(v) na base \beta:
[T]_{\alpha}^{\beta}\,[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[6pt]\dfrac{x+y}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\[6pt] x+\dfrac{x+y}{2}\\[6pt] -\,\dfrac{x+y}{2} \end{pmatrix}.
Simplificando a segunda coordenada:
x+\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{2x+x+y}{2}=\dfrac{3x+y}{2}.
Logo
[T(v)]_{\beta}=\begin{pmatrix} x\\[6pt]\dfrac{3x+y}{2}\\[6pt]-\,\dfrac{x+y}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora convertemos [T(v)]_{\beta} em coordenadas padrão usando a base \beta. Lembrando os vetores de \beta:
b_1=(1,0,-1),\quad b_2=(0,1,2),\quad b_3=(1,2,0).
Seja
[T(v)]_{\beta}=\begin{pmatrix}\lambda_1\\[4pt]\lambda_2\\[4pt]\lambda_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\[4pt]\dfrac{3x+y}{2}\\[4pt]-\,\dfrac{x+y}{2} \end{pmatrix}.
Então
T(v)=\lambda_1 b_1+\lambda_2 b_2+\lambda_3 b_3.
Substituindo \lambda_i e os b_i:
T(x,y)=x(1,0,-1)+\dfrac{3x+y}{2}(0,1,2)-\dfrac{x+y}{2}(1,2,0).]

Passo 6

Fazendo as somas componente a componente:
  • primeira componente:
x+0-\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{2x-x-y}{2}=\dfrac{x-y}{2}.
  • segunda componente:
0+\dfrac{3x+y}{2}-\dfrac{2(x+y)}{2}=\dfrac{3x+y-2x-2y}{2}=\dfrac{x-y}{2}.
  • terceira componente:
- x + 2\cdot\dfrac{3x+y}{2}+0 = -x + (3x+y)=2x+y.
Portanto, em coordenadas padrão
T(x,y)=\left(\dfrac{x-y}{2},\;\dfrac{x-y}{2},\;2x+y\right).

Passo 7

Agora a parte (b): encontrar [S]_{\alpha}^{\beta} para S(x,y)=(2y,x-y,x).
Método: calcular S aplicado aos vetores da base \alpha e expressar cada resultado como combinação dos vetores de \beta. As colunas de [S]_{\alpha}^{\beta} serão exatamente essas coordenadas.

Passo 8

Calcular S sobre os vetores de \alpha.
Para a_1=(1,-1):
S(1,-1)=(2\cdot(-1),\,1-(-1),\,1)=(-2,2,1).
Para a_2=(0,2):
S(0,2)=(2\cdot2,\,0-2,\,0)=(4,-2,0).

Passo 9

Expressar (-2,2,1)\) e \((4,-2,0)\) na base \(\beta\). Escrevemos uma combinação \[d_1 b_1 + d_2 b_2 + d_3 b_3=(d_1+d_3,\;d_2+2d_3,\;-d_1+2d_2).
Igualamos aos vetores alvo e resolvemos.
Para S(1,-1)=(-2,2,1) temos o sistema
\begin{cases} d_1 + d_3 = -2,\\[4pt] d_2 + 2d_3 = 2,\\[4pt] - d_1 + 2d_2 = 1. \end{cases}
Resolvendo (substituição):
Da primeira d_1=-2-d_3\]. Substituindo na terceira: \[-(-2-d_3)+2d_2=1 \\ \Rightarrow\\\ 2+d_3+2d_2=1 \\ \Rightarrow\\ d_3+2d_2=-1.\] Da segunda \(d_2=2-2d_3. Substituindo:
d_3+2(2-2d_3)=-1 \\ \Rightarrow\\ d_3+4-4d_3=-1 \\ \Rightarrow\\\ -3d_3=-5 \\ \Rightarrow\\ d_3=\dfrac{5}{3}.
Então
d_2=2-2\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{-4}{3},\qquad d_1=-2-\dfrac{5}{3}=-\dfrac{11}{3}.
Portanto a primeira coluna de [S]_{\alpha}^{\beta} é
\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{3}\\[4pt]-\dfrac{4}{3}\\[4pt]\dfrac{5}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 10

Agora para S(0,2)=(4,-2,0)\) resolvemos \[\begin{cases} d_1 + d_3 = 4,\\[4pt] d_2 + 2d_3 = -2,\\[4pt] - d_1 + 2d_2 = 0. \end{cases}
Da primeira d_1=4-d_3\]. Da terceira: \[-(4-d_3)+2d_2=0 \\ \Rightarrow\\\ -4+d_3+2d_2=0 \\ \Rightarrow\\\ 2d_2+d_3=4.\] Da segunda \(d_2=-2-2d_3. Substituindo:
2(-2-2d_3)+d_3=4 \\ \Rightarrow\\\ -4-4d_3+d_3=4 \\ \Rightarrow\\\ -3d_3=8 \\ \Rightarrow\\ d_3=-\dfrac{8}{3}.
Logo
d_2=-2-2\left(-\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{10}{3},\qquad d_1=4-\left(-\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{20}{3}.
Assim a segunda coluna de [S]_{\alpha}^{\beta} é
\begin{pmatrix}\dfrac{20}{3}\\[4pt]\dfrac{10}{3}\\[4pt]-\dfrac{8}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 11

Portanto
[S]_{\alpha}^{\beta}= \begin{pmatrix} -\dfrac{11}{3} & \dfrac{20}{3}\\[6pt] -\dfrac{4}{3} & \dfrac{10}{3}\\[6pt] \dfrac{5}{3} & -\dfrac{8}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 12

Parte (c): entender o que se pede. A matriz [T]_{\alpha}^{\gamma} tem colunas que são as coordenadas de T(a_1) e T(a_2) na base \gamma=\{g_1,g_2,g_3\}. A matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}
diz que
T(a_1)=1\cdot g_1 + 0\cdot g_2 + 0\cdot g_3 = g_1, \qquad T(a_2)=0\cdot g_1 + 0\cdot g_2 + 1\cdot g_3 = g_3.
Ou seja, devemos escolher g_1=T(a_1) e g_3=T(a_2). O vetor g_2 pode ser qualquer vetor que torne \gamma uma base (isto é, \{g_1,g_2,g_3\} linearmente independentes).]

Passo 13

Calcular T aplicado aos vetores de \alpha usando a fórmula obtida em (a).
Para a_1=(1,-1):
T(1,-1)=\left(\dfrac{1-(-1)}{2},\dfrac{1-(-1)}{2},2\cdot1+(-1)\right)=(1,1,1).
Para a_2=(0,2):
T(0,2)=\left(\dfrac{0-2}{2},\dfrac{0-2}{2},2\cdot0+2\right)=(-1,-1,2).
Logo podemos escolher
g_1=(1,1,1),\qquad g_3=(-1,-1,2).

Passo 14

Escolher g_2 tal que \{g_1,g_2,g_3\} seja uma base (vetores linearmente independentes). Uma escolha simples que funciona é g_2=(0,1,0). Verificação rápida: não existem escalares \alpha,\beta tais que (0,1,0)=\alpha g_1+\beta g_3 (resolver leva a contradição), portanto g_2 não está no span \{g_1,g_3\} e os três vetores são independentes.
Assim uma base possível é
\gamma=\{(1,1,1),\,(0,1,0),\,(-1,-1,2)\}.
Com essa escolha claramente T(a_1)=g_1 e T(a_2)=g_3, o que produz exatamente a matriz desejada.

Resposta

(a) T(x,y)=\left(\dfrac{x-y}{2},\dfrac{x-y}{2},2x+y\right)
(b) [S]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix} -\dfrac{11}{3} & \dfrac{20}{3}\\[6pt] -\dfrac{4}{3} & \dfrac{10}{3}\\[6pt] \dfrac{5}{3} & -\dfrac{8}{3} \end{pmatrix}
(c) Uma possível base é \gamma=\{(1,1,1),\,(0,1,0),\,(-1,-1,2)\}]

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