O enunciado pede três coisas:
(a) determinar T(x,y) em coordenadas padrão de \mathbb{R}^3;
(b) dado S(x,y)=(2y,x-y,x), determinar [S]_{\alpha}^{\beta};
(c) encontrar uma base \gamma de \mathbb{R}^3 tal que
Lembrete conceitual (muito importante): a matriz [T]_{\alpha}^{\beta} age sobre o vetor de coordenadas de um vetor v\in\mathbb{R}^2 em relação à base \alpha e produz o vetor de coordenadas de T(v) em relação à base \beta. Ou seja, se [v]_{\alpha} é o vetor coluna das coordenadas de v na base \alpha, então
escrever v=(x,y) como combinação linear dos vetores de \alpha (achar [v]_{\alpha});
multiplicar pela matriz [T]_{\alpha}^{\beta} para obter [T(v)]_{\beta};
expressar esse resultado como combinação linear dos vetores de \beta para recuperar T(v) em coordenadas padrão.
Passo 3
Calcular [v]_{\alpha}\) para \(v=(x,y)\). Procuramos escalares \(c_1,c_2\) tais que
\[(x,y)=c_1(1,-1)+c_2(0,2).
Isso gera o sistema
\begin{cases} c_1 = x,\\[4pt] -\,c_1+2c_2 = y. \end{cases}
Da primeira equação (c_1=x]. Substituindo na segunda: - x + 2c_2 = y \quad\Rightarrow\quad c_2 = \frac{x+y}{2}.
Portanto [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]\dfrac{x+y}{2}\end{pmatrix}.]
Passo 4
Multiplicar a matriz de T pela coordenada [v]_{\alpha} para obter as coordenadas de T(v) na base \beta:
Agora a parte (b): encontrar [S]_{\alpha}^{\beta} para S(x,y)=(2y,x-y,x).
Método: calcular S aplicado aos vetores da base \alpha e expressar cada resultado como combinação dos vetores de \beta. As colunas de [S]_{\alpha}^{\beta} serão exatamente essas coordenadas.
Passo 8
Calcular S sobre os vetores de \alpha.
Para a_1=(1,-1):
S(1,-1)=(2\cdot(-1),\,1-(-1),\,1)=(-2,2,1).
Para a_2=(0,2):
S(0,2)=(2\cdot2,\,0-2,\,0)=(4,-2,0).
Passo 9
Expressar (-2,2,1)\) e \((4,-2,0)\) na base \(\beta\). Escrevemos uma combinação
\[d_1 b_1 + d_2 b_2 + d_3 b_3=(d_1+d_3,\;d_2+2d_3,\;-d_1+2d_2).
Resolvendo (substituição):
Da primeira d_1=-2-d_3\]. Substituindo na terceira:
\[-(-2-d_3)+2d_2=1 \\ \Rightarrow\\\ 2+d_3+2d_2=1 \\ \Rightarrow\\ d_3+2d_2=-1.\]
Da segunda \(d_2=2-2d_3. Substituindo:
Da primeira d_1=4-d_3\]. Da terceira:
\[-(4-d_3)+2d_2=0 \\ \Rightarrow\\\ -4+d_3+2d_2=0 \\ \Rightarrow\\\ 2d_2+d_3=4.\]
Da segunda \(d_2=-2-2d_3. Substituindo:
Parte (c): entender o que se pede. A matriz [T]_{\alpha}^{\gamma} tem colunas que são as coordenadas de T(a_1) e T(a_2) na base \gamma=\{g_1,g_2,g_3\}. A matriz
Ou seja, devemos escolher g_1=T(a_1) e g_3=T(a_2). O vetor g_2 pode ser qualquer vetor que torne \gamma uma base (isto é, \{g_1,g_2,g_3\} linearmente independentes).]
Passo 13
Calcular T aplicado aos vetores de \alpha usando a fórmula obtida em (a).
Escolher g_2 tal que \{g_1,g_2,g_3\} seja uma base (vetores linearmente independentes). Uma escolha simples que funciona é g_2=(0,1,0). Verificação rápida: não existem escalares \alpha,\beta tais que (0,1,0)=\alpha g_1+\beta g_3 (resolver leva a contradição), portanto g_2 não está no span\{g_1,g_3\} e os três vetores são independentes.
Assim uma base possível é
\gamma=\{(1,1,1),\,(0,1,0),\,(-1,-1,2)\}.
Com essa escolha claramente T(a_1)=g_1 e T(a_2)=g_3, o que produz exatamente a matriz desejada.