Dados os vetores \overrightarrow{\mathrm{u}}=(1,1,4) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(-1,2,2), calcule:
a) |\overrightarrow{\mathrm{u}}| \mathrm{e}|\overrightarrow{\mathrm{v}}|;
b) \vec{u} . \vec{v};

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \overrightarrow{\mathrm{u}}=(1,1,4) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(-1,2,2). As perguntas são:
a) Calcular |\overrightarrow{\mathrm{u}}| e |\overrightarrow{\mathrm{v}}| (as normas/módulos dos vetores).
b) Calcular \vec{u}\cdot\vec{v} (o produto escalar entre os vetores).

Passo 2

Explicando a fórmula da norma de um vetor em \mathbb{R}^3: para um vetor \overrightarrow{\mathrm{a}}=(a_1,a_2,a_3), a norma (ou módulo) é
|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Aqui a_1,a_2,a_3 são as componentes do vetor nas direções x,y,z. A ideia é: soma dos quadrados das componentes e depois a raiz quadrada — é a extensão da distância euclidiana em 3D.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao vetor \overrightarrow{\mathrm{u}}=(1,1,4). As componentes são u_1=1, u_2=1, u_3=4. Então
|\overrightarrow{\mathrm{u}}|=\sqrt{1^2+1^2+4^2}=\sqrt{1+1+16}=\sqrt{18}.
Podemos simplificar \sqrt{18} fatorando 18=9\cdot2, assim
\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}.

Passo 4

Agora para \overrightarrow{\mathrm{v}}=(-1,2,2). As componentes são v_1=-1, v_2=2, v_3=2. Então
|\overrightarrow{\mathrm{v}}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 5

Explicando a fórmula do produto escalar em \mathbb{R}^3: para \overrightarrow{\mathrm{a}}=(a_1,a_2,a_3) e \overrightarrow{\mathrm{b}}=(b_1,b_2,b_3),
\overrightarrow{\mathrm{a}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{b}}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Cada componente correspondente é multiplicada e depois somam-se os resultados. Esse produto também está relacionado com o cosseno do ângulo entre os vetores, mas aqui usaremos só a definição componente a componente.

Passo 6

Calcular \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}} com \overrightarrow{\mathrm{u}}=(1,1,4) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(-1,2,2):
\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}=1\cdot(-1)+1\cdot2+4\cdot2=-1+2+8=9.

Passo 7

Interpretação rápida: como \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}=9\neq0, os vetores não são perpendiculares (não são ortogonais). Só um comentário extra para fixar a ideia.

Resposta

a) |\overrightarrow{\mathrm{u}}|=3\sqrt{2} \quad e \quad |\overrightarrow{\mathrm{v}}|=3
b) \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}=9

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