Determinar um vetor unitário em relação aos vetores
\vec{w}=(-1,-5)

Passo 1

O enunciado pede: determinar um vetor unitário “em relação” ao vetor \vec{w}=(-1,-5).\n
Informações fornecidas:
  • O vetor dado é \vec{w}=(-1,-5).
  • A tarefa é encontrar um vetor unitário paralelo a \vec{w} (ou seja, de mesma direção e sentido, mas com comprimento 1).

Passo 2

O que é um vetor unitário e como obtê‑lo (aula rápida e prática).\n
  • Um vetor unitário é um vetor cujo comprimento (norma) vale 1.\n
  • Para transformar um vetor qualquer \vec{v} num vetor unitário na mesma direção, divide‑se \vec{v} pela sua norma \|\vec{v}\|. Em fórmula:
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
Aqui vamos aplicar isso a \vec{w}, isto é,
\vec{u}=\frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}.
Explicando com calma: dividir um vetor por um número (escalar) significa dividir cada componente desse vetor por esse número.

Passo 3

Calcular a norma (comprimento) de \vec{w}.\n
A norma Euclidiana de um vetor \vec{w}=(w_1,w_2) é dada por
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^{2}+w_2^{2}}.
No nosso caso w_1=-1 e w_2=-5, então
\|\vec{w}\|=\sqrt{(-1)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}.
Detalhe: ao elevar ao quadrado o sinal negativo some (porque (-1)^2=1), por isso usamos os quadrados dos números.

Passo 4

Montar o vetor unitário em forma escalar e explicar o efeito componente a componente.\n
Pela fórmula do Passo 2,
\vec{u}=\frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}=\frac{1}{\sqrt{26}}\vec{w}.
Isto significa multiplicar cada componente de \vec{w} pelo escalar \dfrac{1}{\sqrt{26}} (ou equivalentemente dividir cada componente por \sqrt{26}). É assim que se normaliza um vetor: aplicar a mesma escala a todas as componentes para ajustar o comprimento para 1, preservando direção e sentido.

Passo 5

Verificar que o vetor obtido tem norma 1 (propriedade que confirma que é unitário).\n
Usando a propriedade de homogeneidade da norma, para qualquer escalar c e vetor \vec{v} vale \|c\vec{v}\|=|c|\,\|\vec{v}\|. Assim,
\left\|\frac{1}{\sqrt{26}}\vec{w}\right\|=\frac{1}{\sqrt{26}}\|\vec{w}\|=\frac{1}{\sqrt{26}}\sqrt{26}=1.
Portanto o vetor \dfrac{1}{\sqrt{26}}\vec{w} realmente tem comprimento 1 e é unitário.

Passo 6

Recapitulando com uma dica de prova: para normalizar qualquer vetor em prova faça dois passos rápidos — (i) calcule \|\vec{v}\| pelos quadrados das componentes; (ii) divida cada componente por \|\vec{v}\|. Assim você garante direção e comprimento correto. Força aí, você consegue!

Resposta

\left(-\dfrac{1}{\sqrt{26}},-\dfrac{5}{\sqrt{26}}\right)

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