Determinar um vetor unitário em relação aos vetores
\overrightarrow{\mathrm{u}}=(2,-6)

Passo 1

O enunciado dá o vetor \overrightarrow{\mathrm{u}}=(2,-6).
A pergunta é: determinar um vetor unitário relacionado a esse vetor (isto é, um vetor de módulo 1 com a mesma direção — normalmente pede-se o vetor unitário na direção de \overrightarrow{\mathrm{u}}; também existe o unitário na direção oposta).

Passo 2

O que é um vetor unitário e como obtê-lo.
Um vetor unitário é um vetor com módulo igual a 1. Para transformar um vetor qualquer \overrightarrow{v} num vetor unitário na sua direção usa-se a fórmula de normalização:
\widehat{v}=\frac{\overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{v}\|}.
Aqui \widehat{v} é o vetor unitário na direção de \overrightarrow{v} e \|\overrightarrow{v}\| é o comprimento (norma) de \overrightarrow{v}. A norma de um vetor \overrightarrow{v}=(v_1,v_2) em \mathbb{R}^2 é dada por
\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}}.
Vou aplicar isso ao vetor \overrightarrow{\mathrm{u}}=(2,-6).

Passo 3

Calcular a norma de \overrightarrow{\mathrm{u}}. Aplicando a fórmula:
\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|=\sqrt{2^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}.
Simplificando \sqrt{40}:
\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}.

Passo 4

Obter o vetor unitário dividindo \overrightarrow{\mathrm{u}} pela sua norma:
\widehat{u}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{u}}}{\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|} =\frac{(2,-6)}{2\sqrt{10}}=\left(\frac{2}{2\sqrt{10}},\frac{-6}{2\sqrt{10}}\right).
Simplificando as frações:
\widehat{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{10}},-\frac{3}{\sqrt{10}}\right).

Passo 5

Verificação rápida de que o vetor encontrado tem módulo 1. Calcular a norma de \widehat{u}:
\|\widehat{u}\|=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^{2}+\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{9}{10}}=\sqrt{\frac{10}{10}}=\sqrt{1}=1.
Portanto está correto.

Passo 6

Observação final importante para a prova: além do vetor unitário na mesma direção, existe também o unitário na direção oposta, simplesmente trocando o sinal:
-\widehat{u}=\left(-\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\right).

Resposta

\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}},-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)
\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}},\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)

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