Dados os vetores \overrightarrow{\mathrm{u}}=(1,-1), \overrightarrow{\mathrm{v}}=(-3,4) e \overrightarrow{\mathrm{w}}=(8,-6), calcular

Passo 1

O enunciado fornece os vetores (peguei estes valores do enunciado):
  • \overrightarrow{\mathrm{u}}=(1,-1)
  • \overrightarrow{\mathrm{v}}=(-3,4)
  • \overrightarrow{\mathrm{w}}=(8,-6)
O enunciado termina em “calcular” sem dizer o que exatamente calcular. Portanto o pedido está incompleto: não há uma única operação indicada (por exemplo: soma, produto escalar, normas, ângulo entre vetores, decomposição linear, etc.). Como não foi especificado o que calcular, não existe uma única resposta obrigatória.
Para te ajudar já que o enunciado ficou aberto, vou calcular passo a passo várias quantidades que costumam ser pedidas em exercícios desse tipo (se alguma delas for a que você precisa, ótimo — e se quiser só uma resposta específica, depois me diz qual). Vou explicar bem cada conceito para você entender e conseguir reproduzir na prova.

Passo 2

Soma de vetores e multiplicação por escalar — definição e cálculo direto.
  • Regra: para somar vetores em coordenadas, soma-se componente a componente. Para multiplicar um vetor por um escalar, multiplica-se cada componente por esse escalar.
  • Aplicando:
\overrightarrow{\mathrm{u}}+\overrightarrow{\mathrm{v}}+\overrightarrow{\mathrm{w}} = (1,-1)+(-3,4)+(8,-6).
Somando componente a componente:
(1-3+8,\\\ -1+4-6)=(6,-3).

Passo 3

Produto escalar (dot product) — definição, interpretação e cálculo.
  • Definição: para vetores em \mathbb{R}^2, \overrightarrow{a}=(a_1,a_2) e \overrightarrow{b}=(b_1,b_2), o produto escalar é
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2.
  • Interpretação rápida: mede “quanto na mesma direção” os vetores estão; aparece em projeções e no cálculo do ângulo.
  • Calculando entre os pares:
\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}=1\cdot(-3)+(-1)\cdot4=-3-4=-7.
\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=1\cdot8+(-1)\cdot(-6)=8+6=14.
\overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=(-3)\cdot8+4\cdot(-6)=-24-24=-48.

Passo 4

Norma (módulo) de um vetor — definição e cálculo.
  • Definição: para \overrightarrow{a}=(a_1,a_2), a norma é
\|\overrightarrow{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.
  • Cálculos:
\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
\|\overrightarrow{\mathrm{v}}\|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
\|\overrightarrow{\mathrm{w}}\|=\sqrt{8^2+(-6)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.

Passo 5

Ângulo entre vetores — fórmula com produto escalar e interpretação.
  • Fórmula: para vetores não nulos,
\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{a}\|\|\overrightarrow{b}\|},
onde \theta é o ângulo entre \overrightarrow{a} e \overrightarrow{b}.
  • Aplicando aos pares (apresento os cossenos; se quiser a medida em graus faço a conversão):
\cos\theta_{u,v}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}}{\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|\|\overrightarrow{\mathrm{v}}\|} =\frac{-7}{\sqrt{2}\cdot5}=-\frac{7}{5\sqrt{2}}.
\cos\theta_{u,w}=\frac{14}{\sqrt{2}\cdot10}=\frac{7}{5\sqrt{2}}.
\cos\theta_{v,w}=\frac{-48}{5\cdot10}=-\frac{48}{50}=-\frac{24}{25}.
  • Observação: \cos\theta_{u,w}=-\cos\theta_{u,v} só por acaso numérico aqui? Não exatamente; observe os sinais e valores — aqui \cos\theta_{u,w} é positivo, \cos\theta_{u,v} é negativo, isso indica direções diferentes.

Passo 6

Projeção de um vetor sobre outro (conceito rápido).
  • Fórmula da projeção de \overrightarrow{a} sobre \overrightarrow{b}:
\mathrm{proj}_{\overrightarrow{b}}(\overrightarrow{a}) =\left(\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{b}\|^2}\right)\overrightarrow{b}.
  • Exemplo rápido (apenas um): projeção de \overrightarrow{\mathrm{u}} sobre \overrightarrow{\mathrm{v}}:
\mathrm{proj}_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}(\overrightarrow{\mathrm{u}}) =\left(\frac{-7}{5^2}\right)\overrightarrow{\mathrm{v}} =\left(-\frac{7}{25}\right)(-3,4)=\left(\frac{21}{25},-\frac{28}{25}\right).
(Servirá se a prova pedir componente de \overrightarrow{u} ao longo de \overrightarrow{v}.)

Passo 7

Linearidade, combinação linear e independência — como verificar e aplicar aqui.
  • Pergunta típica: existe a,b\in\mathbb{R} tais que \overrightarrow{\mathrm{w}}=a\overrightarrow{\mathrm{u}}+b\overrightarrow{\mathrm{v}}? Para responder montamos o sistema componente a componente:
a\cdot1 + b\cdot(-3)=8,
a\cdot(-1) + b\cdot4 = -6.
  • Resolvo o sistema: da primeira equação a=8+3b. Substituindo na segunda:
-(8+3b)+4b=-6 \quad\Rightarrow\quad -8 -3b +4b=-6 \quad\Rightarrow\quad -8 + b = -6.
Logo b=2. Então a=8+3\cdot2=14.
  • Conclusão prática: \overrightarrow{\mathrm{w}}=14\,\overrightarrow{\mathrm{u}}+2\,\overrightarrow{\mathrm{v}}.
  • Interpretação: isso mostra que \overrightarrow{\mathrm{w}} está no espaço gerado por \{\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{v}}\}; portanto os três vetores são linearmente dependentes (em \mathbb{R}^2 qualquer conjunto com mais de 2 vetores é dependente ou algum é combinação dos outros).

Passo 8

Determinante 2×2 (área do paralelogramo formado por \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}}) e checagem de independência de dois vetores.
  • Para vetores \overrightarrow{a}=(a_1,a_2) e \overrightarrow{b}=(b_1,b_2), o determinante
\det(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=a_1b_2-a_2b_1
dá (em módulo) a área do paralelogramo e é zero sse os vetores são linearmente dependentes (um múltiplo do outro).
  • Calculando para \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}}:
\det(\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{v}})=1\cdot4-(-1)\cdot(-3)=4-3=1.
  • Como o determinante é 1\neq0, \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}} são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2. A área do paralelogramo que eles formam é 1.

Passo 9

Resumo interpretativo e encorajamento.
  • Já calculamos várias quantidades úteis: soma, produtos escalares, normas, cossenos dos ângulos, projeção e a decomposição de \overrightarrow{\mathrm{w}} como combinação linear de \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}}.
  • Se na sua prova pedir algum desses itens você já sabe o passo a passo: aplicar definições (componentes para soma/escalar, fórmula do produto escalar para ângulo/projeção, resolver sistema para combinação linear).
  • Força aí — dá pra conseguir! Se quiser que eu faça apenas um desses itens com mais detalhes (por exemplo transformar os cossenos em ângulos em graus ou mostrar a projeção graficamente), me diz qual é (mas como o enunciado original não indicou, eu já te trouxe as respostas mais comuns).

Resposta

\overrightarrow{\mathrm{u}}+\overrightarrow{\mathrm{v}}+\overrightarrow{\mathrm{w}}=(6,-3)
\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}=-7
\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=14
\overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=-48
\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|=\sqrt{2}
\|\overrightarrow{\mathrm{v}}\|=5
\|\overrightarrow{\mathrm{w}}\|=10
\cos\theta_{u,v}=-\dfrac{7}{5\sqrt{2}}
\cos\theta_{u,w}=\dfrac{7}{5\sqrt{2}}
\cos\theta_{v,w}=-\dfrac{24}{25}
\mathrm{proj}_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}(\overrightarrow{\mathrm{u}})=\left(\dfrac{21}{25},-\dfrac{28}{25}\right)
\overrightarrow{\mathrm{w}}=14\,\overrightarrow{\mathrm{u}}+2\,\overrightarrow{\mathrm{v}}
\det(\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{v}})=1 (logo \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}} são linearmente independentes; os três vetores são linearmente dependentes).

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