Dados os vetores \overrightarrow{\mathrm{u}}=(1,-1), \overrightarrow{\mathrm{v}}=(-3,4) e \overrightarrow{\mathrm{w}}=(8,-6), calcular
Passo 1
O enunciado fornece os vetores (peguei estes valores do enunciado):
\overrightarrow{\mathrm{u}}=(1,-1)
\overrightarrow{\mathrm{v}}=(-3,4)
\overrightarrow{\mathrm{w}}=(8,-6)
O enunciado termina em “calcular” sem dizer o que exatamente calcular. Portanto o pedido está incompleto: não há uma única operação indicada (por exemplo: soma, produto escalar, normas, ângulo entre vetores, decomposição linear, etc.). Como não foi especificado o que calcular, não existe uma única resposta obrigatória.
Para te ajudar já que o enunciado ficou aberto, vou calcular passo a passo várias quantidades que costumam ser pedidas em exercícios desse tipo (se alguma delas for a que você precisa, ótimo — e se quiser só uma resposta específica, depois me diz qual). Vou explicar bem cada conceito para você entender e conseguir reproduzir na prova.
Passo 2
Soma de vetores e multiplicação por escalar — definição e cálculo direto.
Regra: para somar vetores em coordenadas, soma-se componente a componente. Para multiplicar um vetor por um escalar, multiplica-se cada componente por esse escalar.
Observação: \cos\theta_{u,w}=-\cos\theta_{u,v} só por acaso numérico aqui? Não exatamente; observe os sinais e valores — aqui \cos\theta_{u,w} é positivo, \cos\theta_{u,v} é negativo, isso indica direções diferentes.
Passo 6
Projeção de um vetor sobre outro (conceito rápido).
Fórmula da projeção de \overrightarrow{a} sobre \overrightarrow{b}:
(Servirá se a prova pedir componente de \overrightarrow{u} ao longo de \overrightarrow{v}.)
Passo 7
Linearidade, combinação linear e independência — como verificar e aplicar aqui.
Pergunta típica: existe a,b\in\mathbb{R} tais que \overrightarrow{\mathrm{w}}=a\overrightarrow{\mathrm{u}}+b\overrightarrow{\mathrm{v}}? Para responder montamos o sistema componente a componente:
a\cdot1 + b\cdot(-3)=8,
a\cdot(-1) + b\cdot4 = -6.
Resolvo o sistema: da primeira equação a=8+3b. Substituindo na segunda:
Interpretação: isso mostra que \overrightarrow{\mathrm{w}} está no espaço gerado por \{\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{v}}\}; portanto os três vetores são linearmente dependentes (em \mathbb{R}^2 qualquer conjunto com mais de 2 vetores é dependente ou algum é combinação dos outros).
Passo 8
Determinante 2×2 (área do paralelogramo formado por \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}}) e checagem de independência de dois vetores.
Para vetores \overrightarrow{a}=(a_1,a_2) e \overrightarrow{b}=(b_1,b_2), o determinante
Como o determinante é 1\neq0, \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}} são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2. A área do paralelogramo que eles formam é 1.
Passo 9
Resumo interpretativo e encorajamento.
Já calculamos várias quantidades úteis: soma, produtos escalares, normas, cossenos dos ângulos, projeção e a decomposição de \overrightarrow{\mathrm{w}} como combinação linear de \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}}.
Se na sua prova pedir algum desses itens você já sabe o passo a passo: aplicar definições (componentes para soma/escalar, fórmula do produto escalar para ângulo/projeção, resolver sistema para combinação linear).
Força aí — dá pra conseguir! Se quiser que eu faça apenas um desses itens com mais detalhes (por exemplo transformar os cossenos em ângulos em graus ou mostrar a projeção graficamente), me diz qual é (mas como o enunciado original não indicou, eu já te trouxe as respostas mais comuns).
Resposta
\overrightarrow{\mathrm{u}}+\overrightarrow{\mathrm{v}}+\overrightarrow{\mathrm{w}}=(6,-3) \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}=-7 \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=14 \overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}=-48 \|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|=\sqrt{2} \|\overrightarrow{\mathrm{v}}\|=5 \|\overrightarrow{\mathrm{w}}\|=10 \cos\theta_{u,v}=-\dfrac{7}{5\sqrt{2}} \cos\theta_{u,w}=\dfrac{7}{5\sqrt{2}} \cos\theta_{v,w}=-\dfrac{24}{25} \mathrm{proj}_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}(\overrightarrow{\mathrm{u}})=\left(\dfrac{21}{25},-\dfrac{28}{25}\right) \overrightarrow{\mathrm{w}}=14\,\overrightarrow{\mathrm{u}}+2\,\overrightarrow{\mathrm{v}} \det(\overrightarrow{\mathrm{u}},\overrightarrow{\mathrm{v}})=1 (logo \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}} são linearmente independentes; os três vetores são linearmente dependentes).