Questão 4 (2,0 pontos). Calcule det \left[\begin{array}{cccc}3 & -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz 4\times4
A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 0 & -1 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Todos os elementos da matriz estão especificados (listei-os acima).
  • A tarefa é encontrar \det(A).]

Passo 2

Relembrando propriedades úteis dos determinantes (explicadas de forma prática):
  • Trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1.
  • Somar a um linha um múltiplo de outra linha NÃO altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por um escalar \lambda multiplica o determinante por \lambda.
  • Se a matriz for triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vou usar operações de linha elementares do tipo “somar múltiplos de uma linha a outra” (que não alteram o determinante) e, quando necessário para simplificar cálculos, trocas de linhas (lembrando de ajustar o sinal do determinante).

Passo 3

Para evitar frações no processo de eliminação, troco a linha 1 com a linha 4. Essa troca multiplica o determinante por -1.
Após a troca R_1 \leftrightarrow R_4 obtemos
A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 0 & -1 & 3\\[4pt] 3 & -1 & 5 & 0 \end{pmatrix},
e temos a relação
\det(A) = -\det(A_1).]

Passo 4

Elimino os elementos abaixo do pivô \,a_{11}=1 usando somas de linhas (essas operações NÃO mudam o determinante).
Faço R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 e R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1.
Cálculos:
  • R_3 - 2R_1 = (2,0,-1,3) - 2(1,1,2,0) = (0,-2,-5,3).
  • R_4 - 3R_1 = (3,-1,5,0) - 3(1,1,2,0) = (0,-4,-1,0).
A matriz fica
A_2=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -2 & -5 & 3\\[4pt] 0 & -4 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Ainda vale \det(A) = -\det(A_2).]

Passo 5

Agora uso o pivô \,a_{22}=2 (posição (2,2)) para zerar as entradas abaixo na coluna 2. Como a_{32}=-2 e a_{42}=-4, faço:
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_2 (porque -2 + 2 = 0),
  • R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2 (porque -4 + 2\cdot 2 = 0).
Cálculos:
  • R_3 + R_2 = (0,-2,-5,3) + (0,2,0,1) = (0,0,-5,4).
  • R_4 + 2R_2 = (0,-4,-1,0) + 2(0,2,0,1) = (0,0,-1,2).
A matriz fica
A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -5 & 4\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Operações de soma de linha não alteraram o determinante, logo \det(A) = -\det(A_3).]

Passo 6

Para facilitar a eliminação na coluna 3, troco agora R_3 com R_4. Essa troca multiplica o determinante por -1. Depois da troca:
A_4=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -5 & 4 \end{pmatrix}.
Com as duas trocas realizadas (uma no Passo 3 e outra aqui), o fator de sinal total é (-1)\cdot(-1)=+1. Assim, até agora as trocas se cancelam e temos
\det(A) = \det(A_4).]

Passo 7

Elimino o elemento a_{43}=-5 usando o pivô a_{33}=-1. Faço R_4 \leftarrow R_4 - 5R_3 (note que -5 - 5\cdot(-1) = 0).
Cálculo:
  • R_4 - 5R_3 = (0,0,-5,4) - 5(0,0,-1,2) = (0,0,0,4 - 10) = (0,0,0,-6).
A matriz triangular final é
A_5=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -6 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Como A_5 é triangular superior, o determinante de A_5 é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det(A_5) = 1 \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-6).
Compute passo a passo:
1\cdot 2 = 2,\qquad 2\cdot(-1) = -2,\qquad -2\cdot(-6) = 12.
Lembrando que as duas trocas de linhas que fiz se cancelaram (fator +1), e que as operações de soma de linhas não alteraram o determinante, conclui-se que
\det(A) = \det(A_5) = 12.

Resposta

\,12\,

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