Questão 2 (2,0 pontos). Sejam A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -3 & -5 \\\\ -1 & 4 & 5 \\\\ 1 & -3 & -4\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & -4 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & -2 & -3\end{array}\right], mostre que A \cdot B=A e B \cdot A=B.

Passo 1

O enunciado fornece duas matrizes 3\times3:
A=\begin{pmatrix} 2 & -3 & -5\\[4pt] -1 & 4 & 5\\[4pt] 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -4\\[4pt] -1 & 3 & 4\\[4pt] 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
O que se pede: mostrar que
A\cdot B = A \qquad\text{e}\qquad B\cdot A = B.]

Passo 2

Definição e notação que vou usar: se C=A\cdot B com A e B ambas 3\times3, o elemento da linha i e coluna j de C é dado por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{kj}.
Aqui a_{ik} é o elemento da matriz A na linha i e coluna k, b_{kj} é o elemento de B na linha k e coluna j, e faz-se a soma dos produtos para k=1,2,3. Na prática cada c_{ij} é o produto interno (dot product) da linha i de A com a coluna j de B.

Passo 3

Vamos calcular A\cdot B elemento a elemento. Para facilitar, escrevo as linhas de A e as colunas de B:
linhas de A:
\text{linha}_1(A)=(2,\,-3,\,-5),\quad \text{linha}_2(A)=(-1,\,4,\,5),\quad \text{linha}_3(A)=(1,\,-3,\,-4).
colunas de B:
\text{col}_1(B)=(2,\,-1,\,1),\quad \text{col}_2(B)=(-2,\,3,\,-2),\quad \text{col}_3(B)=(-4,\,4,\,-3).
Calculemos os nove produtos escalares:
(A B)_{11}=(2)(2)+(-3)(-1)+(-5)(1)=4+3-5=2,
(A B)_{12}=(2)(-2)+(-3)(3)+(-5)(-2)=-4-9+10=-3,
(A B)_{13}=(2)(-4)+(-3)(4)+(-5)(-3)=-8-12+15=-5,
(A B)_{21}=(-1)(2)+(4)(-1)+(5)(1)=-2-4+5=-1,
(A B)_{22}=(-1)(-2)+(4)(3)+(5)(-2)=2+12-10=4,
(A B)_{23}=(-1)(-4)+(4)(4)+(5)(-3)=4+16-15=5,
(A B)_{31}=(1)(2)+(-3)(-1)+(-4)(1)=2+3-4=1,
(A B)_{32}=(1)(-2)+(-3)(3)+(-4)(-2)=-2-9+8=-3,
(A B)_{33}=(1)(-4)+(-3)(4)+(-4)(-3)=-4-12+12=-4.

Passo 4

Juntando os elementos calculados, obtemos
A\cdot B=\begin{pmatrix} 2 & -3 & -5\\[4pt] -1 & 4 & 5\\[4pt] 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}.
Como essa matriz coincide entrada a entrada com A, concluímos que
A\cdot B = A.]

Passo 5

Agora calculamos B\cdot A. Uso as linhas de B e as colunas de A.
linhas de B:
\text{linha}_1(B)=(2,\,-2,\,-4),\quad \text{linha}_2(B)=(-1,\,3,\,4),\quad \text{linha}_3(B)=(1,\,-2,\,-3).
colunas de A:
\text{col}_1(A)=(2,\,-1,\,1),\quad \text{col}_2(A)=(-3,\,4,\,-3),\quad \text{col}_3(A)=(-5,\,5,\,-4).

Passo 6

Calculemos os nove produtos escalares para B A:
(B A)_{11}=(2)(2)+(-2)(-1)+(-4)(1)=4+2-4=2,
(B A)_{12}=(2)(-3)+(-2)(4)+(-4)(-3)=-6-8+12=-2,
(B A)_{13}=(2)(-5)+(-2)(5)+(-4)(-4)=-10-10+16=-4,
(B A)_{21}=(-1)(2)+(3)(-1)+(4)(1)=-2-3+4=-1,
(B A)_{22}=(-1)(-3)+(3)(4)+(4)(-3)=3+12-12=3,
(B A)_{23}=(-1)(-5)+(3)(5)+(4)(-4)=5+15-16=4,
(B A)_{31}=(1)(2)+(-2)(-1)+(-3)(1)=2+2-3=1,
(B A)_{32}=(1)(-3)+(-2)(4)+(-3)(-3)=-3-8+9=-2,
(B A)_{33}=(1)(-5)+(-2)(5)+(-3)(-4)=-5-10+12=-3.

Passo 7

Juntando os elementos, obtemos
B\cdot A=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -4\\[4pt] -1 & 3 & 4\\[4pt] 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
Esta matriz coincide com B, portanto
B\cdot A = B.]

Resposta

A\cdot B = A
B\cdot A = B

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