Dados os vetores u = (4, 7, −1) e v = (3, 10, 11), podemos afirmar que u e v são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois vetores, u = (4, 7, −1) e v = (3, 10, 11), e pergunta se esses vetores são linearmente independentes. O conteúdo aqui é sobre independência linear, que basicamente verifica se um vetor pode ser feito a partir do outro utilizando multiplicação por um número. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um número qualquer (escala). Ou seja, não existe um número k tal que u = k * v ou v = k * u.

Passo 3

Vamos testar se existe esse número k. Para isso, igualamos cada componente dos vetores:
  1. 4 = k times 3
  2. 7 = k times 10
  3. -1 = k times 11

Passo 4

Agora, vamos resolver a primeira equação para achar k:
4 = 3k Rightarrow k = 43

Passo 5

Vamos ver se esse mesmo k funciona nas outras equações:
Para a segunda equação:
7 = 10k Rightarrow k = 710
Para a terceira equação:
-1 = 11k Rightarrow k = -111

Passo 6

Percebemos que os valores de k são diferentes em cada equação ( 43, 710, e -111). Isso significa que não existe um único k que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 7

Como não existe um número k que faça u = k * v ou v = k * u, concluímos que os vetores u e v são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u e v são linearmente independentes.

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