Dados os vetores u = (4, 7, −1) e v = (3, 10, 11), podemos afirmar que u e v são linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois vetores, u = (4, 7, −1) e v = (3, 10, 11), e pergunta se esses vetores são linearmente independentes. O conteúdo aqui é sobre independência linear, que basicamente verifica se um vetor pode ser feito a partir do outro utilizando multiplicação por um número. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido multiplicando o outro por um número qualquer (escala). Ou seja, não existe um número k tal que u = k * v ou v = k * u.
Passo 3
Vamos testar se existe esse número k. Para isso, igualamos cada componente dos vetores:
Passo 4
Agora, vamos resolver a primeira equação para achar k:
Passo 5
Vamos ver se esse mesmo k funciona nas outras equações:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:
Passo 6
Percebemos que os valores de k são diferentes em cada equação (
,
, e
). Isso significa que não existe um único k que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Passo 7
Como não existe um número k que faça u = k * v ou v = k * u, concluímos que os vetores u e v são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores u e v são linearmente independentes.