Dados A=imath+jmath+k, B=imath+2 jmath, C=2 jmath-k. Encontre A cdot(B+C) e (A+B) cdot C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de produto escalar envolvendo vetores. O enunciado nos dá três vetores:
  • A = imath + jmath + k
  • B = imath + 2jmath
  • C = 2jmath - k
Precisamos calcular dois produtos escalares:
  1. A cdot (B + C)
  2. (A + B) cdot C
Vamos usar as propriedades do produto escalar e a soma de vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a soma dos vetores B e C. Somar vetores significa somar suas componentes correspondentes.
B + C = (imath + 2jmath) + (2jmath - k)
Agora, somamos as componentes:
  • Componente imath: 1 + 0 = 1
  • Componente jmath: 2 + 2 = 4
  • Componente k: 0 - 1 = -1
Então,
B + C = imath + 4jmath - k

Passo 3

Agora, vamos calcular o primeiro produto escalar: A cdot (B + C).
Lembrando que o produto escalar de dois vetores U = u1imath + u2jmath + u3k e V = v1imath + v2jmath + v3k é dado por:
U cdot V = u1v1 + u2v2 + u3v3
Aplicando isso:
A cdot (B + C) = (1)(1) + (1)(4) + (1)(-1) = 1 + 4 - 1 = 4

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma dos vetores A e B:
A + B = (imath + jmath + k) + (imath + 2jmath)
Somando as componentes:
  • Componente imath: 1 + 1 = 2
  • Componente jmath: 1 + 2 = 3
  • Componente k: 1 + 0 = 1
Então,
A + B = 2imath + 3jmath + k

Passo 5

Agora, vamos calcular o segundo produto escalar: (A + B) cdot C.
Usando a fórmula do produto escalar:
(A + B) cdot C = (2)(0) + (3)(2) + (1)(-1) = 0 + 6 - 1 = 5

Resposta

A cdot (B + C) = 4 e (A + B) cdot C = 5

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