Dados os vetores
e
, encontre
(Módulo, Direção e Sentido) e fça um esboço do resultado.
está na horizontal no setindo para a direita e
faz um ângulo de
em relação ao primeiro vetor, sendo
e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Vetores dados:
(o enunciado também menciona , mas não é usado na fórmula dada). - Orientações e magnitudes fornecidas:
-
está na horizontal, sentido para a direita. -
forma um ângulo de em relação a (logo faz acima do eixo positivo ). -
. -
.
-
- O enunciado pede: encontrar
— especificamente seu módulo, direção e sentido — e fazer um esboço do resultado.
Passo 2
Escolha de sistema de referência e representação em componentes.
- Uso um sistema com eixo
horizontal apontando para a direita e eixo vertical apontando para cima. - Denoto os versores padrões por
(eixo ) e (eixo ). - Como
está na horizontal para a direita: Substituindo :
Passo 3
Expressar
em componentes (decomposição vetorial).
- Primeiro calcule
: - Componentes de
usando trigonometria (ângulo de acima do eixo ): - Substituindo
e e : - Portanto
Passo 4
Calcular
(multiplicação escalar).
- Multiplicando as componentes por
: - Para referência numérica rápida (não usada nas contas simbólicas, apenas para intuição):
Passo 5
Calcular
em componentes.
- Subtraindo componente a componente:
- Assim
- Aproximações numéricas das componentes (só para intuir a posição):
Observação útil: ambas componentes são negativas, então está no terceiro quadrante (para baixo e para a esquerda).
Passo 6
Cálculo do módulo
(passo a passo algébrico).
- Fórmula:
- Substituindo
e : - Desenvolvendo os quadrados (fazer devagar):
- Juntando:
(aqui usei que e , ). - Simplificando termos sem radicais:
E , então . - Para o termo com raiz:
, então . - Portanto
- Logo o módulo em forma exata:
- Valor numérico aproximado:
Passo 7
Cálculo da direção (ângulo) de
.
- A inclinação (tangente do ângulo
medido a partir do eixo positivo, sentido anti-horário) é (esta é uma expressão exata; dá a razão .) - Valor numérico da razão:
-
. Mas atenção à posição angular (quadrante): - Como
e , o vetor está no terceiro quadrante. Para ângulo medido a partir do eixo no sentido anti-horário, soma-se :
- Como
- Alternativa de expressão: ângulo negativo
(medido no sentido horário a partir do eixo ) — ambas representam a mesma direção.
Passo 8
Sentido (para onde aponta
) e interpretação geométrica.
- Como ambas as componentes de
são negativas, o sentido é “para baixo e para a esquerda”, ou seja, aponta para o terceiro quadrante. - Em palavras:
tem direção formando abaixo do eixo negativo , ou contado desde o eixo positivo no sentido anti-horário.
Passo 9
Esboço (instruções e um desenho ASCII simples para visualizar).
-
Pontos úteis para desenhar em papel:
- Origem:
. -
: ponta em — flecha para a direita. -
: ponta em . Como subtrai-se, é útil desenhar que vai para . -
: ponta em .
- Origem:
-
Desenho ASCII aproximado (só para intuir posição; não é escala precisa):y
↑. / \ (vetor apontando 30° acima do eixo x) / ------•------→ x / . (ponta de bem à esquerda/baixo) ↓ -
Procedimento para esboçar corretamente:
- Desenhe e marque os eixos
e . - Desenhe
para a direita com comprimento proporcional a . - A partir da origem, desenhe
acima à com comprimento . - Marque
(mesma direção que mas invertida, comprimento ). - Some vetorialmente
(ou desenhe e, a partir da ponta de , desenhe ); a ponta final é , apontando para baixo-esquerda.
- Desenhe e marque os eixos
Resposta
Módulo:
Direção:
(medido a partir do eixo
no sentido anti-horário)
Sentido: aponta para o terceiro quadrante (para baixo e para a esquerda)