Dados os vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}, encontre \vec{R} (Módulo, Direção e Sentido) e fça um esboço do resultado.
\vec{a} está na horizontal no setindo para a direita e \vec{b} faz um ângulo de 30^{0} em relação ao primeiro vetor, sendo a=\sqrt{2}, b=\frac{a}{2} e \vec{R}=\vec{a}-7 \vec{b}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Vetores dados: \vec{a},\\ \vec{b} (o enunciado também menciona \vec{c}, mas não é usado na fórmula dada).
  • Orientações e magnitudes fornecidas:
    • \vec{a} está na horizontal, sentido para a direita.
    • \vec{b} forma um ângulo de 30^\circ em relação a \vec{a} (logo \vec{b} faz 30^\circ acima do eixo positivo x).
    • a = \sqrt{2}.
    • b = \dfrac{a}{2}.
  • O enunciado pede: encontrar \vec{R}=\vec{a}-7\vec{b} — especificamente seu módulo, direção e sentido — e fazer um esboço do resultado.

Passo 2

Escolha de sistema de referência e representação em componentes.
  • Uso um sistema com eixo x horizontal apontando para a direita e eixo y vertical apontando para cima.
  • Denoto os versores padrões por \hat{\imath} (eixo x) e \hat{\jmath} (eixo y).
  • Como \vec{a} está na horizontal para a direita: \vec{a} = a\,\hat{\imath} = \bigl(a,\,0\bigr).Substituindo a=\sqrt{2}: \vec{a} = \bigl(\sqrt{2},\,0\bigr).

Passo 3

Expressar \vec{b} em componentes (decomposição vetorial).
  • Primeiro calcule b: b=\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Componentes de \vec{b} usando trigonometria (ângulo de 30^\circ acima do eixo x): b_x = b\cos 30^\circ,\qquad b_y = b\sin 30^\circ.
  • Substituindo \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} e b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}: b_x = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}, \qquad b_y = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
  • Portanto \vec{b}=\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{4},\\ \frac{\sqrt{2}}{4}\Bigr).

Passo 4

Calcular 7\vec{b} (multiplicação escalar).
  • Multiplicando as componentes por 7: 7\vec{b}=\Bigl(7\cdot\frac{\sqrt{6}}{4},\\\ 7\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}\Bigr)=\Bigl(\frac{7\sqrt{6}}{4},\\ \frac{7\sqrt{2}}{4}\Bigr).
  • Para referência numérica rápida (não usada nas contas simbólicas, apenas para intuição): \frac{7\sqrt{6}}{4}\approx 4{,}2866,\qquad \frac{7\sqrt{2}}{4}\approx 2{,}4749.

Passo 5

Calcular \vec{R}=\vec{a}-7\vec{b} em componentes.
  • Subtraindo componente a componente: R_x = a_x - (7b_x) = \sqrt{2} - \frac{7\sqrt{6}}{4}, \qquad R_y = a_y - (7b_y) = 0 - \frac{7\sqrt{2}}{4} = -\frac{7\sqrt{2}}{4}.
  • Assim \vec{R}=\Bigl(\sqrt{2}-\frac{7\sqrt{6}}{4},\\\ -\frac{7\sqrt{2}}{4}\Bigr).
  • Aproximações numéricas das componentes (só para intuir a posição): R_x\approx -2{,}8724,\qquad R_y\approx -2{,}4749.Observação útil: ambas componentes são negativas, então \vec{R} está no terceiro quadrante (para baixo e para a esquerda).

Passo 6

Cálculo do módulo \lVert \vec{R}\rVert (passo a passo algébrico).
  • Fórmula: \lVert \vec{R}\rVert=\sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}}.
  • Substituindo R_x e R_y: \lVert \vec{R}\rVert^{2}=\Bigl(\sqrt{2}-\frac{7\sqrt{6}}{4}\Bigr)^{2}+\Bigl(-\frac{7\sqrt{2}}{4}\Bigr)^{2}.
  • Desenvolvendo os quadrados (fazer devagar): \Bigl(\sqrt{2}-\frac{7\sqrt{6}}{4}\Bigr)^{2}=2 -2\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{7\sqrt{6}}{4}+\frac{49\cdot 6}{16},
\Bigl(-\frac{7\sqrt{2}}{4}\Bigr)^{2}=\frac{49\cdot 2}{16}.
  • Juntando: \lVert \vec{R}\rVert^{2} =2 -\frac{7}{2}\sqrt{12}+\frac{294}{16}+\frac{98}{16}.(aqui usei que 2\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{7\sqrt{6}}{4}=\frac{7}{2}\sqrt{12} e 49\cdot6=294, 49\cdot2=98).
  • Simplificando termos sem radicais: \frac{294}{16}+\frac{98}{16}=\frac{392}{16}=\frac{49}{2}.E 2=\frac{4}{2}, então 2+\frac{49}{2}=\frac{53}{2}.
  • Para o termo com raiz: \sqrt{12}=2\sqrt{3}, então \dfrac{7}{2}\sqrt{12}=\dfrac{7}{2}\cdot 2\sqrt{3}=7\sqrt{3}.
  • Portanto \lVert \vec{R}\rVert^{2}=\frac{53}{2}-7\sqrt{3}.
  • Logo o módulo em forma exata: \lVert \vec{R}\rVert=\sqrt{\frac{53}{2}-7\sqrt{3}}.
  • Valor numérico aproximado: \lVert \vec{R}\rVert\approx 3{,}79.

Passo 7

Cálculo da direção (ângulo) de \vec{R}.
  • A inclinação (tangente do ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo, sentido anti-horário) é \tan\theta=\frac{R_y}{R_x}=\frac{-\dfrac{7\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{2}-\dfrac{7\sqrt{6}}{4}} =\frac{-7\sqrt{2}}{4\sqrt{2}-7\sqrt{6}}.(esta é uma expressão exata; dá a razão R_y/R_x.)
  • Valor numérico da razão: \frac{R_y}{R_x}\approx\frac{-2{,}4749}{-2{,}8724}\approx 0{,}8618.
  • \arctan(0{,}8618)\approx 40{,}99^\circ. Mas atenção à posição angular (quadrante):
    • Como R_x<0 e R_y<0, o vetor está no terceiro quadrante. Para ângulo \theta medido a partir do eixo +x no sentido anti-horário, soma-se 180^\circ:
    \theta \approx 180^\circ + 40{,}99^\circ = 220{,}99^\circ \approx 221{,}0^\circ.
  • Alternativa de expressão: ângulo negativo \theta\approx -139{,}0^\circ (medido no sentido horário a partir do eixo +x) — ambas representam a mesma direção.

Passo 8

Sentido (para onde aponta \vec{R}) e interpretação geométrica.
  • Como ambas as componentes de \vec{R} são negativas, o sentido é “para baixo e para a esquerda”, ou seja, aponta para o terceiro quadrante.
  • Em palavras: \vec{R} tem direção formando \approx 40{,}99^\circ abaixo do eixo negativo x, ou \approx 221{,}0^\circ contado desde o eixo positivo x no sentido anti-horário.

Passo 9

Esboço (instruções e um desenho ASCII simples para visualizar).
  • Pontos úteis para desenhar em papel:
    • Origem: (0,0).
    • \vec{a}: ponta em \bigl(\sqrt{2},0\bigr)\approx(1{,}414,0) — flecha para a direita.
    • 7\vec{b}: ponta em \bigl(\tfrac{7\sqrt{6}}{4},\tfrac{7\sqrt{2}}{4}\bigr)\approx(4{,}2866,2{,}4749). Como subtrai-se, é útil desenhar -7\vec{b} que vai para \approx(-4{,}2866,-2{,}4749).
    • \vec{R}=\vec{a}+(-7\vec{b}): ponta em \approx(-2{,}8724,-2{,}4749).
  • Desenho ASCII aproximado (só para intuir posição; não é escala precisa):
    y
    .
    / \ (vetor \vec{b} apontando 30° acima do eixo x)
    /
    ------•------→ x
    /
    . (ponta de -7\vec{b} bem à esquerda/baixo)
  • Procedimento para esboçar corretamente:
    1. Desenhe e marque os eixos x e y.
    2. Desenhe \vec{a} para a direita com comprimento proporcional a 1{,}414.
    3. A partir da origem, desenhe \vec{b} acima à 30^\circ com comprimento 0{,}707.
    4. Marque -7\vec{b} (mesma direção que \vec{b} mas invertida, comprimento \approx 4{,}949).
    5. Some vetorialmente \vec{a} + (-7\vec{b}) (ou desenhe \vec{a} e, a partir da ponta de \vec{a}, desenhe -7\vec{b}); a ponta final é \vec{R}, apontando para baixo-esquerda.

Resposta

Módulo: \displaystyle \lVert \vec{R}\rVert=\sqrt{\frac{53}{2}-7\sqrt{3}}\approx 3{,}79
Direção: \displaystyle \theta\approx 221{,}0^\circ (medido a partir do eixo +x no sentido anti-horário)
Sentido: aponta para o terceiro quadrante (para baixo e para a esquerda)

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