Uma partícula é lançada do solo com uma determinada velocidade. No instante de tempo
, a partícula passa por uma altura
em relação ao solo e com velocidade
, sendo
um ângulo fixo. Considere que o sistema está no vácuo.
(a) O que é vácuo?
(b) Encontre a equação de movimento.
(c) Encontre as funções horárias de posição e velocidade.
(d) De que instante a partícula á lançada?
(e) Encontre o alcance horizontal partindo do lançamento.
(f) Encontre a velocidade e o ângulo de lançamento.
(g) Encontre a altura máxima em relação ao solo atingida pela partícula.
(h) Encontre a velocidade da partícula, após o lançamento, quando a mesma toca o solo.
(i) A energia mecânica da partícula é conservada?
(j) O momento linear da partícula é conservado?
(a) O que é vácuo?
(b) Encontre a equação de movimento.
(c) Encontre as funções horárias de posição e velocidade.
(d) De que instante a partícula á lançada?
(e) Encontre o alcance horizontal partindo do lançamento.
(f) Encontre a velocidade e o ângulo de lançamento.
(g) Encontre a altura máxima em relação ao solo atingida pela partícula.
(h) Encontre a velocidade da partícula, após o lançamento, quando a mesma toca o solo.
(i) A energia mecânica da partícula é conservada?
(j) O momento linear da partícula é conservado?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar TUDO que foi fornecido e o que se pede):
- No instante
a partícula está a uma altura em relação ao solo. - A velocidade no instante
é , com . - O sistema está no vácuo (isso aparece na pergunta (a) e afeta as forças).
- O enunciado pede, em itens:
(a) definir o que é vácuo;
(b) encontrar a equação de movimento;
(c) encontrar as funções horárias de posição e velocidade;
(d) determinar de que instante a partícula foi lançada (tempo do lançamento, relativo a);
(e) encontrar o alcance horizontal medido a partir do ponto de lançamento;
(f) encontrar a velocidade e o ângulo de lançamento (isto é, a velocidade e ângulo no instante em que a partícula deixa o solo);
(g) encontrar a altura máxima em relação ao solo;
(h) encontrar a velocidade da partícula, após o lançamento, quando ela toca o solo (no impacto final);
(i) dizer se a energia mecânica é conservada;
(j) dizer se o momento linear é conservado. - Convenções que vou usar (para ficar claro): tomo o eixo
horizontal para a direita e positivo para cima; a posição no instante será . Vou definir a posição em como (posso escolher sem perda de generalidade).
Passo 2
(a) O que é vácuo?
- Vácuo, em física clássica de problemas de movimento, significa que não há ar (ou qualquer fluido) que exerça força de arrasto sobre a partícula. Em termos práticos: não existe resistência do ar nem outras forças dissipativas além da gravidade.
- Consequência imediata para este problema: a única força externa que age na partícula (além de forças de contato na hora do lançamento/impacto) é a força peso
, com módulo da aceleração gravitacional. Em particular não há força de atrito aerodinâmico.
Passo 3
(b) Equação de movimento (vetorial)
- Pela Segunda Lei de Newton:
- Em vácuo, a única força externa contínua é o peso, então
- Logo a aceleração é constante e vertical:
- A equação vetorial do movimento (posição como função do tempo) para aceleração constante é
- Substituindo
, e obtemos a equação de movimento completa (vai aparecer explicitamente nos próximos passos).
Passo 4
(c) Funções horárias de posição e velocidade (componentes)
- Posicionamento usando a fórmula do passo anterior. Em componentes:
- Velocidade é a derivada da posição; como
é constante:
- Em forma vetorial:
- Interpretação simples: horizontalmente a velocidade não muda; verticalmente a velocidade diminui com inclinação
.
Passo 5
(d) De que instante a partícula é lançada?
- O instante de lançamento (relativo a
) é o tempo anterior em que a partícula passou pela origem vertical do lançamento, isto é, quando . - Resolver
:
- Colocando na forma padrão
, as raízes são (fórmula quadrática)
- Há duas raízes: uma positiva (o instante futuro em que volta a tocar o solo) e uma negativa (o instante passado em que saiu do solo). O lançamento é o instante passado, portanto:
- Observação:
. Se quiser o tempo decorrido entre o lançamento e , é .
Passo 6
(e) Alcance horizontal partindo do lançamento
- Denote as duas raízes do item anterior por
onde
e
é o instante em que a partícula toca o solo depois do lançamento.
- O tempo de voo total a partir do lançamento é
. Calculamos a diferença:
- O alcance horizontal medido desde o ponto de lançamento é
, com . Assim:
- Intuição: se
a expressão reduz ao caso clássico .
Passo 7
(f) Velocidade e ângulo de lançamento (isto é, ao sair do solo)
- Aqui “lançamento” = instante em que
antes de , isto é . - Componentes da velocidade em
: -
(não muda no tempo). -
. Substituindo obtém-se
-
(Explicação curta do cancelamento: usando a forma da raiz, o cálculo reduz ao símbolo
.)
- Módulo da velocidade de lançamento:
- Ângulo de lançamento (medido acima da horizontal):
- Observação interpretativa: a velocidade no instante em que sai do solo é maior que
se (porque ela já ganhou energia potencial convertida em cinética antes de ).
Passo 8
(g) Altura máxima em relação ao solo
- O topo da trajetória ocorre quando
. A partir de obtemos o instante do pico:
- Substituir em
para obter a altura máxima:
- Observação: isso é a altura máxima contada do solo. Se
recupera a fórmula usual .
Passo 9
(h) Velocidade da partícula quando toca o solo (após o lançamento)
- No instante de aterrissagem
temos -
, -
-
- Portanto o módulo da velocidade ao tocar o solo é
- O ângulo com a horizontal no impacto é simétrico ao de lançamento, mas apontando para baixo:
com componente vertical negativa (portanto a direção é abaixo da horizontal).
Passo 10
(i) A energia mecânica da partícula é conservada?
- Sim. Em vácuo, com apenas a força peso (conservativa) agindo durante o voo, não há dissipação de energia mecânica. Assim a energia mecânica total
é constante no tempo.
- Demonstração simples: usando as expressões, por exemplo em
,
e no instante de impacto
, igual a
. Logo a energia mecânica é conservada ao longo do voo.
Passo 11
(j) O momento linear da partícula é conservado?
- O momento linear total
NÃO é conservado, porque existe uma força externa não-nula (o peso) atuando sobre a partícula: . - Observações úteis:
- A componente horizontal do momento é conservada, pois não há força externa horizontal:
constante. - A componente vertical do momento varia com o tempo segundo
.
- A componente horizontal do momento é conservada, pois não há força externa horizontal:
- Conclusão: momento total não conservado; apenas o componente horizontal é conservado.
Resposta
(a) Em vácuo não há ar nem resistência do ar; só atua a gravidade
.
(b) e
.
(c)
(d) (raiz negativa).
(e)
(f) No instante de lançamento:
(g)
(h) Ao tocar o solo: (direção para baixo).
(i) Sim: a energia mecânica é conservada (força peso é conservativa e não há dissipação).
(j) O momento linear total NÃO é conservado (existe força externa ); apenas a componente horizontal do momento é conservada.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) No instante de lançamento:
(g)
(h) Ao tocar o solo:
(i) Sim: a energia mecânica é conservada (força peso é conservativa e não há dissipação).
(j) O momento linear total NÃO é conservado (existe força externa