Uma partícula é lançada do solo com uma determinada velocidade. No instante de tempo t=0, a partícula passa por uma altura h em relação ao solo e com velocidade \vec{v}_{0}=v_{0}(\cos (\alpha) \hat{i}+\operatorname{sen}(\alpha) \hat{j}), sendo 0<\alpha<\pi / 2 um ângulo fixo. Considere que o sistema está no vácuo.
(a) O que é vácuo?
(b) Encontre a equação de movimento.
(c) Encontre as funções horárias de posição e velocidade.
(d) De que instante a partícula á lançada?
(e) Encontre o alcance horizontal partindo do lançamento.
(f) Encontre a velocidade e o ângulo de lançamento.
(g) Encontre a altura máxima em relação ao solo atingida pela partícula.
(h) Encontre a velocidade da partícula, após o lançamento, quando a mesma toca o solo.
(i) A energia mecânica da partícula é conservada?
(j) O momento linear da partícula é conservado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar TUDO que foi fornecido e o que se pede):
  • No instante t=0 a partícula está a uma altura h em relação ao solo.
  • A velocidade no instante t=0 é \vec{v}_{0}=v_{0}\big(\cos(\alpha)\,\hat{i}+\sin(\alpha)\,\hat{j}\big), com 0<\alpha<\pi/2.
  • O sistema está no vácuo (isso aparece na pergunta (a) e afeta as forças).
  • O enunciado pede, em itens:
    (a) definir o que é vácuo;
    (b) encontrar a equação de movimento;
    (c) encontrar as funções horárias de posição e velocidade;
    (d) determinar de que instante a partícula foi lançada (tempo do lançamento, relativo a t=0);
    (e) encontrar o alcance horizontal medido a partir do ponto de lançamento;
    (f) encontrar a velocidade e o ângulo de lançamento (isto é, a velocidade e ângulo no instante em que a partícula deixa o solo);
    (g) encontrar a altura máxima em relação ao solo;
    (h) encontrar a velocidade da partícula, após o lançamento, quando ela toca o solo (no impacto final);
    (i) dizer se a energia mecânica é conservada;
    (j) dizer se o momento linear é conservado.
  • Convenções que vou usar (para ficar claro): tomo o eixo x horizontal para a direita e y positivo para cima; a posição no instante t será \vec{r}(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}. Vou definir a posição em t=0 como \vec{r}(0)=(0,h) (posso escolher x(0)=0 sem perda de generalidade).

Passo 2

(a) O que é vácuo?
  • Vácuo, em física clássica de problemas de movimento, significa que não há ar (ou qualquer fluido) que exerça força de arrasto sobre a partícula. Em termos práticos: não existe resistência do ar nem outras forças dissipativas além da gravidade.
  • Consequência imediata para este problema: a única força externa que age na partícula (além de forças de contato na hora do lançamento/impacto) é a força peso \vec{F}_g = -m g\,\hat{j}, com g>0 módulo da aceleração gravitacional. Em particular não há força de atrito aerodinâmico.

Passo 3

(b) Equação de movimento (vetorial)
  • Pela Segunda Lei de Newton:
m\vec{a}(t)=\vec{F}_{\text{ext}}(t).
  • Em vácuo, a única força externa contínua é o peso, então
\vec{F}_{\text{ext}}=-m g\,\hat{j}.
  • Logo a aceleração é constante e vertical:
\vec{a}(t)=-g\,\hat{j}\qquad(\text{constante}).
  • A equação vetorial do movimento (posição como função do tempo) para aceleração constante é
\vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\vec{v}_{0}\,t+\tfrac{1}{2}\vec{a}\,t^{2}.
  • Substituindo \vec{r}(0)=(0,h), \vec{v}_0 e \vec{a} obtemos a equação de movimento completa (vai aparecer explicitamente nos próximos passos).

Passo 4

(c) Funções horárias de posição e velocidade (componentes)
  • Posicionamento usando a fórmula do passo anterior. Em componentes:
x(t)=0+v_{0}\cos(\alpha)\,t,
y(t)=h+v_{0}\sin(\alpha)\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
  • Velocidade é a derivada da posição; como \vec{a} é constante:
v_{x}(t)=\frac{d x}{dt}=v_{0}\cos(\alpha)\quad(\text{constante}),
v_{y}(t)=\frac{d y}{dt}=v_{0}\sin(\alpha)-g\,t.
  • Em forma vetorial:
\vec{r}(t)=v_{0}\cos(\alpha)\,t\,\hat{i}+\big(h+v_{0}\sin(\alpha)\,t-\tfrac{1}{2}g t^{2}\big)\hat{j},
\vec{v}(t)=v_{0}\cos(\alpha)\,\hat{i}+\big(v_{0}\sin(\alpha)-g t\big)\hat{j}.
  • Interpretação simples: horizontalmente a velocidade não muda; verticalmente a velocidade diminui com inclinação -g.

Passo 5

(d) De que instante a partícula é lançada?
  • O instante de lançamento (relativo a t=0) é o tempo anterior em que a partícula passou pela origem vertical do lançamento, isto é, quando y(t_{\text{lan}})=0.
  • Resolver y(t)=0:
h+v_{0}\sin(\alpha)\,t-\tfrac{1}{2}g t^{2}=0.
  • Colocando na forma padrão \tfrac{1}{2}g t^{2}-v_{0}\sin(\alpha)\,t-h=0, as raízes são (fórmula quadrática)
t=\frac{v_{0}\sin(\alpha)\pm\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}}{g}.
  • Há duas raízes: uma positiva (o instante futuro em que volta a tocar o solo) e uma negativa (o instante passado em que saiu do solo). O lançamento é o instante passado, portanto:
t_{\text{lan}}=\frac{v_{0}\sin(\alpha)-\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}}{g}.
  • Observação: t_{\text{lan}}<0. Se quiser o tempo decorrido entre o lançamento e t=0, é |t_{\text{lan}}|=\dfrac{\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}-v_{0}\sin(\alpha)}{g}.

Passo 6

(e) Alcance horizontal partindo do lançamento
  • Denote as duas raízes do item anterior por
t_{\pm}=\frac{v_{0}\sin(\alpha)\pm\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}}{g},
onde t_{-}=t_{\text{lan}}<0 e t_{+}>0 é o instante em que a partícula toca o solo depois do lançamento.
  • O tempo de voo total a partir do lançamento é \Delta t=t_{+}-t_{-}. Calculamos a diferença:
\Delta t=\frac{2\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}}{g}.
  • O alcance horizontal medido desde o ponto de lançamento é R=v_{x}\,\Delta t, com v_{x}=v_{0}\cos(\alpha). Assim:
R=v_{0}\cos(\alpha)\cdot\frac{2\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}}{g} =\frac{2v_{0}\cos(\alpha)}{g}\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}.
  • Intuição: se h=0 a expressão reduz ao caso clássico R=(2v_{0}^{2}\sin(\alpha)\cos(\alpha))/g.

Passo 7

(f) Velocidade e ângulo de lançamento (isto é, ao sair do solo)
  • Aqui “lançamento” = instante em que y=0 antes de t=0, isto é t=t_{-}.
  • Componentes da velocidade em t_{-}:
    • v_{x}(t_{-})=v_{0}\cos(\alpha) (não muda no tempo).
    • v_{y}(t_{-})=v_{0}\sin(\alpha)-g t_{-}. Substituindo t_{-} obtém-se
v_{y}(t_{-})=\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}.
(Explicação curta do cancelamento: usando a forma da raiz, o cálculo reduz ao símbolo S=\sqrt{(v_{0}\sin\alpha)^{2}+2gh}.)
  • Módulo da velocidade de lançamento:
v_{\text{lan}}=\sqrt{(v_{x}(t_{-}))^{2}+(v_{y}(t_{-}))^{2}} =\sqrt{v_{0}^{2}\cos^{2}(\alpha)+\big((v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh\big)} =\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}.
  • Ângulo de lançamento (medido acima da horizontal):
\theta_{\text{lan}}=\arctan\!\bigg(\frac{v_{y}(t_{-})}{v_{x}(t_{-})}\bigg) =\arctan\!\bigg(\frac{\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}}{v_{0}\cos(\alpha)}\bigg).
  • Observação interpretativa: a velocidade no instante em que sai do solo é maior que v_0 se h>0 (porque ela já ganhou energia potencial convertida em cinética antes de t=0).

Passo 8

(g) Altura máxima em relação ao solo
  • O topo da trajetória ocorre quando v_{y}(t)=0. A partir de v_{y}(t)=v_{0}\sin(\alpha)-g t obtemos o instante do pico:
t_{\text{pico}}=\frac{v_{0}\sin(\alpha)}{g}.
  • Substituir em y(t) para obter a altura máxima:
y_{\max}=h+v_{0}\sin(\alpha)\,t_{\text{pico}}-\tfrac{1}{2}g\,t_{\text{pico}}^{2} = h+\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}(\alpha)}{2g}.
  • Observação: isso é a altura máxima contada do solo. Se h=0 recupera a fórmula usual v_{0}^{2}\sin^{2}\alpha/(2g).

Passo 9

(h) Velocidade da partícula quando toca o solo (após o lançamento)
  • No instante de aterrissagem t_{+}=\dfrac{v_{0}\sin(\alpha)+\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}}{g} temos
    • v_{x}(t_{+})=v_{0}\cos(\alpha),
    • v_{y}(t_{+})=v_{0}\sin(\alpha)-g t_{+}=-\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}.
  • Portanto o módulo da velocidade ao tocar o solo é
v_{\text{impact}}=\sqrt{v_{0}^{2}\cos^{2}(\alpha)+\big(\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}\big)^{2}} =\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}.
  • O ângulo com a horizontal no impacto é simétrico ao de lançamento, mas apontando para baixo:
\theta_{\text{impact}}=\arctan\!\bigg(\frac{\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}}{v_{0}\cos(\alpha)}\bigg),
com componente vertical negativa (portanto a direção é abaixo da horizontal).

Passo 10

(i) A energia mecânica da partícula é conservada?
  • Sim. Em vácuo, com apenas a força peso (conservativa) agindo durante o voo, não há dissipação de energia mecânica. Assim a energia mecânica total
E(t)=\tfrac{1}{2}m\big(v_{x}^{2}(t)+v_{y}^{2}(t)\big)+m g\,y(t)
é constante no tempo.
  • Demonstração simples: usando as expressões, por exemplo em t=0,
E(0)=\tfrac{1}{2}m v_{0}^{2}+m g h,
e no instante de impacto E_{\text{impact}}=\tfrac{1}{2}m(v_{0}^{2}+2gh)+0=\tfrac{1}{2}m v_{0}^{2}+m g h, igual a E(0). Logo a energia mecânica é conservada ao longo do voo.

Passo 11

(j) O momento linear da partícula é conservado?
  • O momento linear total \vec{p}=m\vec{v} NÃO é conservado, porque existe uma força externa não-nula (o peso) atuando sobre a partícula: \dfrac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}_{\text{ext}}=-m g\,\hat{j}\neq\vec{0}.
  • Observações úteis:
    • A componente horizontal do momento é conservada, pois não há força externa horizontal: p_{x}=m v_{0}\cos(\alpha)= constante.
    • A componente vertical do momento varia com o tempo segundo p_{y}(t)=m(v_{0}\sin(\alpha)-g t).
  • Conclusão: momento total não conservado; apenas o componente horizontal é conservado.

Resposta

(a) Em vácuo não há ar nem resistência do ar; só atua a gravidade \vec{F}=-mg\,\hat{j}.
(b) \vec{a}=-g\,\hat{j} e \vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\vec{v}_{0}t+\tfrac{1}{2}\vec{a}t^{2}.
(c) x(t)=v_{0}\cos(\alpha)\,t,\quad y(t)=h+v_{0}\sin(\alpha)\,t-\tfrac{1}{2}g t^{2}. \;v_{x}(t)=v_{0}\cos(\alpha),\quad v_{y}(t)=v_{0}\sin(\alpha)-g t.
(d) t_{\text{lan}}=\dfrac{v_{0}\sin(\alpha)-\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}}{g} (raiz negativa).
(e) R=\dfrac{2v_{0}\cos(\alpha)}{g}\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}.
(f) No instante de lançamento: v_{\text{lan}}=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh},\quad \theta_{\text{lan}}=\arctan\!\bigg(\dfrac{\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}}{v_{0}\cos(\alpha)}\bigg).
(g) y_{\max}=h+\dfrac{v_{0}^{2}\sin^{2}(\alpha)}{2g}.
(h) Ao tocar o solo: v_{\text{impact}}=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh},\quad \theta_{\text{impact}}=\arctan\!\bigg(\dfrac{\sqrt{(v_{0}\sin(\alpha))^{2}+2gh}}{v_{0}\cos(\alpha)}\bigg) (direção para baixo).
(i) Sim: a energia mecânica é conservada (força peso é conservativa e não há dissipação).
(j) O momento linear total NÃO é conservado (existe força externa -mg\,\hat{j}); apenas a componente horizontal do momento é conservada.

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