Dados os vetores vec{u}=(9,-7), vec{v}=(-7,-6) e vec{w}=(9,7) em \mathbb{R}^{2}, determinar
-2 vec{u}+4 vec{v}-\vec{w}

Passo 1

O enunciado fornece três vetores em \mathbb{R}^2 e pede para calcular uma combinação linear deles. Dados:
\vec{u}=(9,-7),\qquad \vec{v}=(-7,-6),\qquad \vec{w}=(9,7).
A operação solicitada é calcular
-2\vec{u}+4\vec{v}-\vec{w}.
Ou seja: aplicar multiplicações por escalares em cada vetor e depois somar/subtrair os resultados componente a componente.

Passo 2

Vou lembrar como fazer multiplicação de um vetor por um escalar e soma de vetores, passo a passo (tipo mini-aula):
  • Se \vec{a}=(a_1,a_2) e k é um escalar, então k\vec{a}=(k a_1,\; k a_2). Cada componente do vetor é multiplicada por k.
  • Se \vec{p}=(p_1,p_2) e \vec{q}=(q_1,q_2), então \vec{p}+\vec{q}=(p_1+q_1,\; p_2+q_2). Soma componente a componente.
  • Subtração \vec{p}-\vec{q} é o mesmo que \vec{p}+(-1)\vec{q}, ou seja (p_1-q_1,\; p_2-q_2).
Esses são os únicos passos que vamos aplicar na conta.

Passo 3

Calcular -2\vec{u}. Aplicando a regra do escalar:
-2\vec{u} = -2(9,-7) = (-2\cdot 9,\; -2\cdot(-7)) = (-18,\;14).
Expliquei cada multiplicação de componente para você poder reproduzir na prova.

Passo 4

Calcular 4\vec{v}. Usando a mesma regra:
4\vec{v} = 4(-7,-6) = (4\cdot(-7),\;4\cdot(-6)) = (-28,\;-24).

Passo 5

Calcular -\vec{w}. Isto é o mesmo que multiplicar por -1:
-\vec{w} = -1(9,7) = (-9,\;-7).

Passo 6

Agora somar os três resultados componente a componente:
-2\vec{u}+4\vec{v}-\vec{w} = (-18,14)+(-28,-24)+(-9,-7).
Somando as componentes x e y separadamente:
\text{componente }x: -18 + (-28) + (-9) = -18 -28 -9 = -55,
\text{componente }y: 14 + (-24) + (-7) = 14 -24 -7 = -17.
Portanto o vetor resultante é (-55,-17).

Resposta

(-55,-17)

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