Dados os vetores vec{u}=(9,-7), vec{v}=(-7,-6) e vec{w}=(9,7) em \mathbb{R}^{2}, determinar
-4 vec{u}+5 vec{w}+6 vec{v}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Vetores fornecidos:
    \vec{u} = (9,-7), \vec{v} = (-7,-6) e \vec{w} = (9,7).
  • O que é pedido: calcular o vetor -4\vec{u} + 5\vec{w} + 6\vec{v}.

Passo 2

Relembrando as operações com vetores (explicação didática curta e direta).
  • Multiplicação por escalar: para um escalar a e um vetor \vec{x}=(x_1,x_2) em \mathbb{R}^2, define-se
    a\vec{x} = (a x_1,\; a x_2).
    Ou seja, multiplica-se cada componente do vetor pelo escalar.
  • Soma de vetores: para \vec{p}=(p_1,p_2) e \vec{q}=(q_1,q_2),
    \vec{p}+\vec{q}=(p_1+q_1,\; p_2+q_2).
    Soma-se componente a componente.
Agora vou aplicar isso aos termos do problema, calculando cada múltiplo escalar separadamente.

Passo 3

Calcular cada múltiplo escalar usando a regra acima.
  • Para -4\vec{u}:
    -4\vec{u} = -4\cdot(9,-7) = (-4\cdot 9,\; -4\cdot(-7)) = (-36,\; 28).
  • Para 5\vec{w}:
    5\vec{w} = 5\cdot(9,7) = (5\cdot 9,\; 5\cdot 7) = (45,\; 35).
  • Para 6\vec{v}:
    6\vec{v} = 6\cdot(-7,-6) = (6\cdot(-7),\; 6\cdot(-6)) = (-42,\; -36).

Passo 4

Agora somo componente a componente os três vetores que calculei.
Primeira componente (componente x):
-36 + 45 + (-42) = (-36 + 45) - 42 = 9 - 42 = -33.
Segunda componente (componente y):
28 + 35 + (-36) = (28 + 35) - 36 = 63 - 36 = 27.
Portanto, o vetor soma tem componentes (-33,\,27).

Passo 5

Verificação rápida (para ficar mais tranquilo): posso agrupar de outra forma, por exemplo (-36-42)+45 = -78+45 = -33 na primeira componente, e 28-36+35 = -8+35 = 27 na segunda; chega-se ao mesmo resultado, confirmação OK.

Resposta

(-33,27)

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