Dados os vetores
e
no plano
, determinar o vetor
, tal que:
(2,0 pontos)
(2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá os vetores no plano
:
Pede-se determinar o vetor
que satisfaz a equação vetorial
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As coordenadas de
e estão dadas componente a componente. - A equação envolve soma de vetores e multiplicação por escalares.
- O objetivo é achar
explicitamente em coordenadas.
Passo 2
Vamos resolver a equação algébrica em vetores isolando
. Reescrevendo a equação dada:
Operações permitidas: soma de vetores e multiplicação por escalar obedecem às mesmas regras algébricas dos números (distributividade, comutatividade), e podemos somar termos semelhantes. Somando
em ambos os lados e somando
em ambos os lados, obtemos:
No lado esquerdo somamos os vetores escalares (mesmo que sejam múltiplos de
):
. No lado direito desenvolvemos a soma escalar:
Somando
, ficamos com:
Agora dividimos ambos os lados por
(isto é multiplicar por
), obtendo a expressão explícita para
:
Explicação didática breve: multiplicar um vetor por um escalar e somar vetores faz-se componente a componente. Igualdade entre vetores significa igualdade em cada componente. Por isso basta calcular o lado direito componente a componente e dividir por
.
Passo 3
Agora substituímos as coordenadas de
e
na expressão
.
Calculemos
componente a componente:
Calculemos
:
Somamos
:
Aqui estou usando que a soma de vetores
.
Passo 4
Aplicamos o fator
ao vetor
, ou seja, dividimos cada componente por
:
Isso fornece a solução em coordenadas.
Passo 5
Verificação (boa prática): vamos checar rapidamente que essa
realmente satisfaz a equação original.
Primeiro calcule
:
Então
Calcule
:
Somando para obter o lado esquerdo:
Agora o lado direito
:
Somando com
:
Os dois lados coincidem, então a
encontrada está correta. Força na prova — tá certinho!