Dados os vetores \vec{u}=(-1,2) e \vec{v}=(-3,5) no plano \mathrm{R}^{2}, determinar o vetor \vec{w} , tal que:
(2,0 pontos)
-3(\vec{u}+\vec{v})+2 \vec{w}=\vec{u}-4 \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá os vetores no plano \mathrm{R}^2:
\vec{u}=(-1,2),\qquad \vec{v}=(-3,5).
Pede-se determinar o vetor \vec{w} que satisfaz a equação vetorial
-3(\vec{u}+\vec{v})+2\vec{w}=\vec{u}-4\vec{w}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As coordenadas de \vec{u} e \vec{v} estão dadas componente a componente.
  • A equação envolve soma de vetores e multiplicação por escalares.
  • O objetivo é achar \vec{w} explicitamente em coordenadas.

Passo 2

Vamos resolver a equação algébrica em vetores isolando \vec{w}. Reescrevendo a equação dada:
-3(\vec{u}+\vec{v})+2\vec{w}=\vec{u}-4\vec{w}.
Operações permitidas: soma de vetores e multiplicação por escalar obedecem às mesmas regras algébricas dos números (distributividade, comutatividade), e podemos somar termos semelhantes. Somando 4\vec{w} em ambos os lados e somando 3(\vec{u}+\vec{v}) em ambos os lados, obtemos:
2\vec{w}+4\vec{w}=\vec{u}+3(\vec{u}+\vec{v}).
No lado esquerdo somamos os vetores escalares (mesmo que sejam múltiplos de \vec{w}): 2\vec{w}+4\vec{w}=6\vec{w}. No lado direito desenvolvemos a soma escalar:
6\vec{w}=\vec{u}+3\vec{u}+3\vec{v}.
Somando \vec{u}+3\vec{u}=4\vec{u}, ficamos com:
6\vec{w}=4\vec{u}+3\vec{v}.
Agora dividimos ambos os lados por 6 (isto é multiplicar por 1/6), obtendo a expressão explícita para \vec{w}:
\vec{w}=\frac{1}{6}\bigl(4\vec{u}+3\vec{v}\bigr).
Explicação didática breve: multiplicar um vetor por um escalar e somar vetores faz-se componente a componente. Igualdade entre vetores significa igualdade em cada componente. Por isso basta calcular o lado direito componente a componente e dividir por 6.

Passo 3

Agora substituímos as coordenadas de \vec{u} e \vec{v} na expressão \vec{w}=\dfrac{1}{6}(4\vec{u}+3\vec{v}).
Calculemos 4\vec{u} componente a componente:
4\vec{u}=4(-1,2)=(-4,8).
Calculemos 3\vec{v}:
3\vec{v}=3(-3,5)=(-9,15).
Somamos 4\vec{u}+3\vec{v}:
4\vec{u}+3\vec{v}=(-4,8)+(-9,15)=(-13,23).
Aqui estou usando que a soma de vetores (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).

Passo 4

Aplicamos o fator \dfrac{1}{6} ao vetor (-13,23), ou seja, dividimos cada componente por 6:
\vec{w}=\frac{1}{6}(-13,23)=\left(-\frac{13}{6},\frac{23}{6}\right).
Isso fornece a solução em coordenadas.

Passo 5

Verificação (boa prática): vamos checar rapidamente que essa \vec{w} realmente satisfaz a equação original.
Primeiro calcule \vec{u}+\vec{v}:
\vec{u}+\vec{v}=(-1,2)+(-3,5)=(-4,7).
Então
-3(\vec{u}+\vec{v})=-3(-4,7)=(12,-21).
Calcule 2\vec{w}:
2\vec{w}=2\left(-\frac{13}{6},\frac{23}{6}\right)=\left(-\frac{13}{3},\frac{23}{3}\right).
Somando para obter o lado esquerdo:
-3(\vec{u}+\vec{v})+2\vec{w}=\left(12,-21\right)+\left(-\frac{13}{3},\frac{23}{3}\right) =\left(\frac{36-13}{3},\frac{-63+23}{3}\right)=\left(\frac{23}{3},-\frac{40}{3}\right).
Agora o lado direito \vec{u}-4\vec{w}:
-4\vec{w}=-4\left(-\frac{13}{6},\frac{23}{6}\right)=\left(\frac{52}{6},-\frac{92}{6}\right)=\left(\frac{26}{3},-\frac{46}{3}\right).
Somando com \vec{u}=(-1,2)=\left(-\frac{3}{3},\frac{6}{3}\right):
\vec{u}-4\vec{w}=\left(-\frac{3}{3}+\frac{26}{3},\frac{6}{3}-\frac{46}{3}\right)=\left(\frac{23}{3},-\frac{40}{3}\right).
Os dois lados coincidem, então a \vec{w} encontrada está correta. Força na prova — tá certinho!

Resposta

\displaystyle \vec{w}=\left(-\frac{13}{6},\frac{23}{6}\right)

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