Escreva o conjunto solução dos sistemas homogêneos dados na forma vetorial paramétrica.
(b) \left\{\begin{array}{l}x_{1}+3 x_{2}-5 x_{3}=0 \\\ x_{1}+4 x_{2}-8 x_{3}=0 \\\\ -3 x_{1}-7 x_{2}+9 x_{3}=0
\end{array}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá\n
Pede: escrever o conjunto solução do sistema homogêneo dado na forma vetorial paramétrica.
Dados (as três equações, já escritas no enunciado):
Observação importante: é um sistema homogêneo porque todos os termos constantes do lado direito são 0. Isso garante que sempre existe a solução trivial x_1=x_2=x_3=0, e possivelmente existem soluções não-triviais que queremos descrever parametricamente.]
Passo 2
Organizar o sistema como matriz e lembrar a ideia da eliminação de Gauss\n
Coloco as equações na forma de matriz dos coeficientes (matriz 3\times3):
A ideia: aplicar operações elementares nas linhas (que não mudam o conjunto solução) para chegar a uma forma escalonada, identificar variáveis pivô e variáveis livres, e então expressar as variáveis livres por parâmetros para obter a solução paramétrica.
Lembrete prático sobre operações: somar um múltiplo de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo — tudo isso preserva o conjunto solução.]
Passo 3
Primeiras operações de eliminação (zerar abaixo do primeiro pivô)\n
Uso a primeira linha como pivô para zerar a_{21} e a_{31}:
Interpretação do escalonamento: temos dois pivôs (colunas 1 e 2), logo o posto (\operatorname{rank}) da matriz é 2. Como há 3 incógnitas, o espaço solução terá dimensão 3-2=1: ou seja, a solução é uma reta (1 parâmetro).]
Passo 5
Escrever as equações correspondentes e escolher variáveis livres\n
Interpretação: o conjunto solução é a reta no \mathbb{R}^{3} gerada pelo vetor \begin{pmatrix}-4\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}. Esse vetor é uma base do espaço solução (espaço nulo de A).]
Passo 7
Verificação rápida (checar que a solução funciona)\n
Verifico substituindo x=( -4t,\,3t,\,t ) em uma das equações, por exemplo a primeira:
x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=(-4t)+3(3t)-5t = -4t+9t-5t=0,
funciona. As outras equações também ficam 0 (pode-se checar da mesma forma). Bom sinal: a parametrização está correta.