Escreva o conjunto solução dos sistemas homogêneos dados na forma vetorial paramétrica.
(b) \left\{\begin{array}{l}x_{1}+3 x_{2}-5 x_{3}=0 \\\ x_{1}+4 x_{2}-8 x_{3}=0 \\\\ -3 x_{1}-7 x_{2}+9 x_{3}=0 \end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá\n
  • Pede: escrever o conjunto solução do sistema homogêneo dado na forma vetorial paramétrica.
  • Dados (as três equações, já escritas no enunciado):
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}+4x_{2}-8x_{3}=0,\\[4pt] -3x_{1}-7x_{2}+9x_{3}=0. \end{cases}
  • Observação importante: é um sistema homogêneo porque todos os termos constantes do lado direito são 0. Isso garante que sempre existe a solução trivial x_1=x_2=x_3=0, e possivelmente existem soluções não-triviais que queremos descrever parametricamente.]

Passo 2

Organizar o sistema como matriz e lembrar a ideia da eliminação de Gauss\n
  • Coloco as equações na forma de matriz dos coeficientes (matriz 3\times3):
A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & -5\\[4pt] 1 & 4 & -8\\[4pt] -3 & -7 & 9 \end{pmatrix}.
  • A ideia: aplicar operações elementares nas linhas (que não mudam o conjunto solução) para chegar a uma forma escalonada, identificar variáveis pivô e variáveis livres, e então expressar as variáveis livres por parâmetros para obter a solução paramétrica.
  • Lembrete prático sobre operações: somar um múltiplo de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo — tudo isso preserva o conjunto solução.]

Passo 3

Primeiras operações de eliminação (zerar abaixo do primeiro pivô)\n
  • Uso a primeira linha como pivô para zerar a_{21} e a_{31}:
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \text{R}_1,\qquad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + 3\text{R}_1.
  • Calculo cada nova linha:
    • \text{R}_2 - \text{R}_1 = (1-1,\;4-3,\;-8-(-5))=(0,\;1,\;-3).
    • \text{R}_3 + 3\text{R}_1 = (-3+3,\;-7+9,\;9+(-15))=(0,\;2,\;-6).
  • A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -5\\[4pt] 0 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -6 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Zerar abaixo do segundo pivô e concluir o escalonamento\n
  • O pivô da segunda linha é o 1 na posição (2,2). Uso-o para zerar o elemento (3,2):
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 2\text{R}_2.
  • Calculo: \text{R}_3 - 2\text{R}_2 = (0-0,\;2-2,\;-6-2(-3))=(0,\;0,\;0).
  • A matriz escalonada final é
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -5\\[4pt] 0 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
  • Interpretação do escalonamento: temos dois pivôs (colunas 1 e 2), logo o posto ( \operatorname{rank}) da matriz é 2. Como há 3 incógnitas, o espaço solução terá dimensão 3-2=1: ou seja, a solução é uma reta (1 parâmetro).]

Passo 5

Escrever as equações correspondentes e escolher variáveis livres\n
  • A matriz escalonada corresponde ao sistema
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=0,\\[4pt] x_{2}-3x_{3}=0,\\[4pt] 0=0. \end{cases}
  • Escolho uma variável livre para parametrizar. É comum escolher a última variável livre x_{3} como parâmetro. Chamo x_{3}=t, onde t\in\mathbb{R}.
  • A partir da segunda equação: x_{2}-3x_{3}=0 implica
x_{2}=3x_{3}=3t.
  • A partir da primeira equação: x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=0. Substituo x_{2}=3t e x_{3}=t:
x_{1}+3(3t)-5t=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+9t-5t=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+4t=0,
portanto
x_{1}=-4t.]

Passo 6

Construir a forma vetorial paramétrica e interpretar\n
  • Juntando os resultados:
x_{1}=-4t,\qquad x_{2}=3t,\qquad x_{3}=t,\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Em forma vetorial paramétrica:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-4\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Interpretação: o conjunto solução é a reta no \mathbb{R}^{3} gerada pelo vetor \begin{pmatrix}-4\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix}. Esse vetor é uma base do espaço solução (espaço nulo de A).]

Passo 7

Verificação rápida (checar que a solução funciona)\n
  • Verifico substituindo x=( -4t,\,3t,\,t ) em uma das equações, por exemplo a primeira:
x_{1}+3x_{2}-5x_{3}=(-4t)+3(3t)-5t = -4t+9t-5t=0,
funciona. As outras equações também ficam 0 (pode-se checar da mesma forma). Bom sinal: a parametrização está correta.

Resposta

\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-4\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

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