Descreva todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos na forma vetorial paramétrica, onde a matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada.
(e) \left(\begin{array}{cccccc}1 & -4 & -2 & 0 & 3 & -5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede: descrever todas as soluções do sistema homogêneo cujo matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada. A matriz fornecida é
Trata-se de um sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} com 6 incógnitas \,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6 (uma coluna para cada variável).
A matriz tem três linhas não nulas; nessas linhas os primeiros 1s à esquerda (pivôs) estão, respectivamente, nas colunas 1,3,5. Logo as colunas 1,3,5 são colunas-pivô e as colunas 2,4,6 são variáveis livres.
O objetivo: escrever a solução geral na forma vetorial paramétrica (usar parâmetros para as variáveis livres e expressar a solução como combinação linear).
Passo 2
Escrevendo as equações correspondentes às três primeiras linhas (cada linha corresponde a uma equação do sistema):
Resolver as equações fáceis primeiro (essas vêm de linhas que já têm um único pivô em sua coluna).
Da segunda equação:
x_3 - x_6 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = x_6.
Da terceira equação:
x_5 - 4x_6 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_5 = 4x_6.
Isso expressa as variáveis de pivô x_3 e x_5 em função de x_6.
Explicação didática curta: quando uma linha diz x_j -(\text{coeficientes das livres})=0 e aparece um único 1 isolando x_j, podemos imediatamente escrever x_j em função das livres. Aqui as variáveis livres ainda são x_2,x_4,x_6.
Passo 4
Substituir as expressões de x_3 e x_5 na primeira equação para obter x_1 em função das variáveis livres.
A primeira equação era
Breve interpretação: o espaço solução é um subespaço de dimensão 3 (há 3 variáveis livres), e uma base conveniente desse subespaço é formada pelos vetores coluna mostrados nos três termos acima.
Passo 6
Verificação rápida (checagem): cada vetor gerador satisfaz as equações. Por exemplo, para o gerador associado a u, os componentes (-5,0,1,0,4,1) verificam x_3-x_6=1-1=0 e x_5-4x_6=4-4=0 e substituindo na primeira linha dá -5 -4\cdot0 -2\cdot1 +3\cdot4 -5\cdot1 = -5 -2 +12 -5 = 0. Assim está consistente.