Descreva todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos na forma vetorial paramétrica, onde a matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada.
(e) \left(\begin{array}{cccccc}1 & -4 & -2 & 0 & 3 & -5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: descrever todas as soluções do sistema homogêneo cujo matriz de coeficientes é equivalente por linhas à matriz dada. A matriz fornecida é
\begin{pmatrix} 1 & -4 & -2 & 0 & 3 & -5 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Trata-se de um sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} com 6 incógnitas \,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6 (uma coluna para cada variável).
  • A matriz tem três linhas não nulas; nessas linhas os primeiros 1s à esquerda (pivôs) estão, respectivamente, nas colunas 1,3,5. Logo as colunas 1,3,5 são colunas-pivô e as colunas 2,4,6 são variáveis livres.
  • O objetivo: escrever a solução geral na forma vetorial paramétrica (usar parâmetros para as variáveis livres e expressar a solução como combinação linear).

Passo 2

Escrevendo as equações correspondentes às três primeiras linhas (cada linha corresponde a uma equação do sistema):
\begin{aligned} \text{(linha 1):}\quad & x_1 -4x_2 -2x_3 +0x_4 +3x_5 -5x_6 = 0,\\\ \text{(linha 2):}\quad & 0x_1 +0x_2 +1x_3 +0x_4 +0x_5 -1x_6 = 0,\\\ \text{(linha 3):}\quad & 0x_1 +0x_2 +0x_3 +0x_4 +1x_5 -4x_6 = 0. \end{aligned}
Reescrevendo de forma mais simples:
\begin{aligned} x_1 -4x_2 -2x_3 +3x_5 -5x_6 &= 0,\\\ x_3 - x_6 &= 0,\\\ x_5 - 4x_6 &= 0. \end{aligned}

Passo 3

Resolver as equações fáceis primeiro (essas vêm de linhas que já têm um único pivô em sua coluna).
Da segunda equação:
x_3 - x_6 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = x_6.
Da terceira equação:
x_5 - 4x_6 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_5 = 4x_6.
Isso expressa as variáveis de pivô x_3 e x_5 em função de x_6.
Explicação didática curta: quando uma linha diz x_j -(\text{coeficientes das livres})=0 e aparece um único 1 isolando x_j, podemos imediatamente escrever x_j em função das livres. Aqui as variáveis livres ainda são x_2,x_4,x_6.

Passo 4

Substituir as expressões de x_3 e x_5 na primeira equação para obter x_1 em função das variáveis livres.
A primeira equação era
x_1 -4x_2 -2x_3 +3x_5 -5x_6 = 0.
Substituindo x_3 = x_6 e x_5 = 4x_6:
x_1 -4x_2 -2(x_6) +3(4x_6) -5x_6 = 0.
Calcular os termos em x_6:
-2x_6 + 12x_6 -5x_6 = (-2+12-5)x_6 = 5x_6.
Assim a equação fica
x_1 -4x_2 +5x_6 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 4x_2 -5x_6.

Passo 5

Escolher parâmetros para as variáveis livres e escrever a solução vetorial paramétrica.
Sejam os parâmetros
s = x_2,\qquad t = x_4,\qquad u = x_6.
Então, pelas relações já encontradas:
\begin{aligned} x_1 &= 4s -5u,\\\ x_2 &= s,\\\ x_3 &= u,\\\ x_4 &= t,\\\ x_5 &= 4u,\\\ x_6 &= u. \end{aligned}
Escrevendo o vetor solução \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)^T em função de s,t,u:
\mathbf{x} = s\begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix},
onde s,t,u\in\mathbb{R} são parâmetros livres.
Breve interpretação: o espaço solução é um subespaço de dimensão 3 (há 3 variáveis livres), e uma base conveniente desse subespaço é formada pelos vetores coluna mostrados nos três termos acima.

Passo 6

Verificação rápida (checagem): cada vetor gerador satisfaz as equações. Por exemplo, para o gerador associado a u, os componentes (-5,0,1,0,4,1) verificam x_3-x_6=1-1=0 e x_5-4x_6=4-4=0 e substituindo na primeira linha dá -5 -4\cdot0 -2\cdot1 +3\cdot4 -5\cdot1 = -5 -2 +12 -5 = 0. Assim está consistente.

Resposta

\mathbf{x} = s\begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}-5\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix}, \qquad s,t,u\in\mathbb{R}.

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