Dados os vetores \vec{u} e \vec{v}, calcule o produto escalar e o produto vetorial nos casos abaixo:
\vec{u}=(1,2,-2) e \vec{v}=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar e o produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3: \vec{u}=(1,2,-2) e \vec{v}=(0,1,1).
Para isso, vamos usar as definições clássicas:
– o produto escalar em coordenadas e
– o produto vetorial via determinante 3\times 3.

Passo 2

Definição do produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.
Aqui u_1=1, u_2=2, u_3=-2 e v_1=0, v_2=1, v_3=1. Substituindo:
\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot0 + 2\cdot1 + (-2)\cdot1 = 0 + 2 - 2 = 0.

Passo 3

Para o produto vetorial usamos a representação por determinante:
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & -2 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
(\vec{u}\times\vec{v})_x = 2\cdot1 - (-2)\cdot1 = 2 + 2 = 4,
(\vec{u}\times\vec{v})_y = (-2)\cdot0 - 1\cdot1 = 0 - 1 = -1,
(\vec{u}\times\vec{v})_z = 1\cdot1 - 2\cdot0 = 1 - 0 = 1.
Logo, \vec{u}\times\vec{v} = (4,-1,1).

Resposta

\vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \vec{u}\times\vec{v} = (4,-1,1)

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