Questão 8 - Quais das seguintes expressões têm significado? Quais não fazem sentido?
\vec{u} “.”(\vec{v} \times \vec{w})

Passo 1

O enunciado pergunta se a expressão
\vec{u}\,\cdot\!\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr)
faz sentido no contexto de álgebra vetorial. O conteúdo envolvido é produto vetorial e produto escalar em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Lembramos que o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} é um vetor em \mathbb{R}^3 perpendicular a \vec{v} e \vec{w}.

Passo 3

Em seguida, o produto escalar
\vec{u}\,\cdot\,\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr)
recebe dois vetores \vec{u} e \vec{v}\times\vec{w} e retorna um número real.

Passo 4

Como o produto vetorial produz um vetor e o produto escalar aceita dois vetores, a composição
\vec{u}\,\cdot\!\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr)
está perfeitamente bem definida. Ela é conhecida como produto misto ou triplo escalar, que mede o volume orientado do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Resposta

A expressão \vec{u}\,\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) faz sentido e equivale ao produto misto (triplo escalar) dos vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Exercícios relacionados