Questão 8 - Quais das seguintes expressões têm significado? Quais não fazem sentido?
(\vec{u} \times \vec{v}) “.”(\vec{u} \times \vec{w})

Passo 1

O enunciado apresenta a única expressão
(\vec{u}\times \vec{v}) \,\cdot\,(\vec{u}\times \vec{w})
e pergunta se ela “faz sentido” do ponto de vista das operações de produto vetorial e escalar em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Lembramos que o produto vetorial \vec{u}\times \vec{v} é definido para \vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^3 e retorna um vetor em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Também sabemos que o produto escalar \vec{a}\cdot \vec{b} é definido sempre que \vec{a},\vec{b} são vetores do mesmo espaço \mathbb{R}^n (em particular em \mathbb{R}^3) e retorna um escalar.

Passo 4

Na expressão dada, fazemos primeiro dois produtos vetoriais \vec{u}\times \vec{v} e \vec{u}\times \vec{w}, cada um resultando num vetor em \mathbb{R}^3. Em seguida aplicamos o produto escalar entre esses dois vetores resultantes. Como todo passo está dentro das definições, a expressão é perfeitamente válida e produz um número real.

Resposta

A expressão
(\vec{u}\times \vec{v}) \,\cdot\,(\vec{u}\times \vec{w})
faz sentido (está bem definida) e retorna um escalar. nenhum caso listado é inválido.

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