Dados os vetores \vec{u}=(3,1,2) e \vec{v}=(-2,2,5), determine |\vec{u} \times \vec{v}|.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(3,1,2) e \vec{v}=(-2,2,5) e pede o módulo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.
Informações dadas:
  • \vec{u}=(u_1,u_2,u_3)=(3,1,2).
  • \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)=(-2,2,5).
O que queremos calcular:
  • \left|\vec{u}\times\vec{v}\right| (o comprimento do vetor resultante do produto vetorial).

Passo 2

Relembrando a definição e a fórmula do produto vetorial (explicação didática):
  • O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e \vec{v}.
  • Em coordenadas, os componentes de \vec{u}\times\vec{v} são dados por
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Aqui u_i e v_i são as componentes dos vetores \vec{u} e \vec{v}: u_1=3,\;u_2=1,\;u_3=2,\;v_1=-2,\;v_2=2,\;v_3=5.
  • O módulo de um vetor \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) é
\left|\vec{w}\right|=\sqrt{w_1^{2}+w_2^{2}+w_3^{2}}.
Vamos primeiro calcular \vec{u}\times\vec{v} e depois o seu módulo.

Passo 3

Calcular componente a componente usando a fórmula:
  • Componente x (primeira):
u_2v_3-u_3v_2 = 1\cdot5 - 2\cdot2 = 5 - 4 = 1.
  • Componente y (segunda):
u_3v_1-u_1v_3 = 2\cdot(-2) - 3\cdot5 = -4 - 15 = -19.
  • Componente z (terceira):
u_1v_2-u_2v_1 = 3\cdot2 - 1\cdot(-2) = 6 - (-2) = 8.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(1,-19,8).

Passo 4

Calcular o módulo de \vec{u}\times\vec{v}:
\left|\vec{u}\times\vec{v}\right| = \sqrt{1^{2}+(-19)^{2}+8^{2}} = \sqrt{1+361+64} = \sqrt{426}.
Se quiser uma aproximação numérica rápida (sem usar na prova se pedirem forma exata): \sqrt{426}\approx20{,}64, mas a forma exata é \sqrt{426}.

Passo 5

Comentário prático e motivador: \left|\vec{u}\times\vec{v}\right| também representa a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}. Então \sqrt{426} é essa área — útil para interpretar o resultado geometricamente. Boa! Você já consegue aplicar a fórmula passo a passo na prova.

Resposta

\sqrt{426}

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