Dados os vetores vec{u}=(-3,1,1), \vec{v}=(1,2,2) e vec{w}=(-2,0,3), calcular:
(b) (\vec{w}, \vec{u}, \vec{v})

Passo 1

O enunciado pede para calcular (\vec{w},\vec{u},\vec{v}). As informações dadas são os vetores:
\vec{u}=(-3,1,1),\qquad \vec{v}=(1,2,2),\qquad \vec{w}=(-2,0,3).

Passo 2

Primeiro vamos esclarecer o que significa (\vec{w},\vec{u},\vec{v}). Por definição,
(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}),
ou seja, o produto misto (triplo) é o produto escalar do primeiro vetor com o produto vetorial dos outros dois. Aqui usaremos exatamente essa fórmula:
(\vec{w},\vec{u},\vec{v})=\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}).
Explico rapidamente os dois ingredientes:
  • O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e \vec{v} com componentes dadas por uma determinação (ou pela fórmula de componentes que vou usar).
  • O produto escalar \vec{w}\cdot\vec{z} (entre dois vetores \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) e \vec{z}=(z_1,z_2,z_3)) é
\vec{w}\cdot\vec{z}=w_1 z_1 + w_2 z_2 + w_3 z_3.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Usamos a fórmula de componentes:
\vec{u}\times\vec{v} = \bigl(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\bigr).
Substituindo \vec{u}=(-3,1,1) e \vec{v}=(1,2,2):
\begin{aligned} \text{1ª componente} &= u_2 v_3 - u_3 v_2 = 1\cdot 2 - 1\cdot 2 = 2-2 = 0,\\[4pt] \text{2ª componente} &= u_3 v_1 - u_1 v_3 = 1\cdot 1 - (-3)\cdot 2 = 1 + 6 = 7,\\[4pt] \text{3ª componente} &= u_1 v_2 - u_2 v_1 = (-3)\cdot 2 - 1\cdot 1 = -6 - 1 = -7. \end{aligned}ªªª
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(0,7,-7).]

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar \vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}). Com \vec{w}=(-2,0,3) e \vec{u}\times\vec{v}=(0,7,-7), temos
\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) = (-2)\cdot 0 + 0\cdot 7 + 3\cdot(-7).
Calcule cada termo:
(-2)\cdot 0 = 0,\qquad 0\cdot 7 = 0,\qquad 3\cdot(-7) = -21.
Somando:
0+0-21=-21.

Passo 5

Como verificação rápida (opcional), o produto misto também é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são \vec{w},\vec{u},\vec{v}. Se calcularmos
\begin{vmatrix} -2 & 0 & 3\\[4pt] -3 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}
obtém-se também -21. Isso confirma o resultado anterior.]

Resposta

-21

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