Verificar se são coplanares os vetores:
(b) \vec{u}=(-2,1,3), \vec{v}=(-3,1,2), \vec{w}= ( -7,1,4 )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os três vetores são coplanares. Os dados fornecidos são os vetores
\vec{u}=(-2,1,3),\qquad \vec{v}=(-3,1,2),\qquad \vec{w}=(-7,1,4).
A pergunta clara é: esses três vetores pertencem a um mesmo plano que passa pela origem (isto é, são coplanares)?

Passo 2

O que significa “coplanares” e como verificar isso numa prova (aula rápida e prática).
  • Três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se e somente se o volume do paralelepípedo formado por eles for zero.
  • Esse volume (com sinal) é dado pelo produto misto (ou produto escalar triplo) \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
  • Portanto, critério prático: calcular \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Se o resultado for zero, os vetores são coplanares; se for diferente de zero, não são coplanares.
    Explicando com carinho: \vec{v}\times\vec{w} dá um vetor perpendicular ao plano gerado por \vec{v} e \vec{w}; fazer o produto escalar com \vec{u} mede quanto \vec{u} tem de componente nessa direção normal — se for zero, \vec{u} está no mesmo plano; se não for zero, \vec{u} tem componente fora do plano.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w}. Use a fórmula das componentes:
\vec{v}\times\vec{w}=\big(v_2w_3-v_3w_2,\; v_3w_1-v_1w_3,\; v_1w_2-v_2w_1\big).
Substituindo \vec{v}=(-3,1,2) e \vec{w}=(-7,1,4):
  • primeira componente: v_2w_3-v_3w_2 = 1\cdot4 - 2\cdot1 = 4-2 = 2,
  • segunda componente: v_3w_1-v_1w_3 = 2\cdot(-7) - (-3)\cdot4 = -14 +12 = -2,
  • terceira componente: v_1w_2-v_2w_1 = (-3)\cdot1 - 1\cdot(-7) = -3 +7 = 4.
    Logo
\vec{v}\times\vec{w} = (2,-2,4).

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). A definição do produto escalar em \mathbb{R}^3 é:
(a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Temos \vec{u}=(-2,1,3) e \vec{v}\times\vec{w}=(2,-2,4). Então
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = (-2)\cdot2 + 1\cdot(-2) + 3\cdot4.

Passo 5

Faço as contas com calma, passo a passo:
(-2)\cdot2 = -4,
1\cdot(-2) = -2,
3\cdot4 = 12.
Somando:
-4 + (-2) + 12 = -6 + 12 = 6.
Portanto
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = 6.

Passo 6

Interpretação do resultado: o produto misto vale 6, que é diferente de zero. Como o produto misto mede (com sinal) o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores, um valor não nulo significa volume diferente de zero, ou seja, os três vetores não estão no mesmo plano — eles são linearmente independentes e geram todo \mathbb{R}^3.

Passo 7

Resumo do método (para usar na prova): quando pedirem “são coplanares?” com três vetores em \mathbb{R}^3,
  • calcule \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) (ou o determinante da matriz cujas linhas ou colunas são as componentes dos vetores);
  • se o resultado for 0, então são coplanares; se for diferente de 0, não são.
    Aqui aplicamos esse procedimento e obtivemos 6\neq 0, logo não são coplanares.

Resposta

Não — os vetores não são coplanares (o produto misto é 6).

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