Verificar se são coplanares os vetores:
(b)
(
)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os três vetores são coplanares. Os dados fornecidos são os vetores
A pergunta clara é: esses três vetores pertencem a um mesmo plano que passa pela origem (isto é, são coplanares)?
Passo 2
O que significa “coplanares” e como verificar isso numa prova (aula rápida e prática).
- Três vetores em
são coplanares se e somente se o volume do paralelepípedo formado por eles for zero. - Esse volume (com sinal) é dado pelo produto misto (ou produto escalar triplo)
. - Portanto, critério prático: calcular
. Se o resultado for zero, os vetores são coplanares; se for diferente de zero, não são coplanares.
Explicando com carinho:dá um vetor perpendicular ao plano gerado por e ; fazer o produto escalar com mede quanto tem de componente nessa direção normal — se for zero, está no mesmo plano; se não for zero, tem componente fora do plano.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
. Use a fórmula das componentes:
Substituindo
e
:
- primeira componente:
, - segunda componente:
, - terceira componente:
.
Logo
Passo 4
Agora calculamos o produto escalar
. A definição do produto escalar em
é:
Temos
e
. Então
Passo 5
Faço as contas com calma, passo a passo:
Somando:
Portanto
Passo 6
Interpretação do resultado: o produto misto vale
, que é diferente de zero. Como o produto misto mede (com sinal) o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores, um valor não nulo significa volume diferente de zero, ou seja, os três vetores não estão no mesmo plano — eles são linearmente independentes e geram todo
.
Passo 7
Resumo do método (para usar na prova): quando pedirem “são coplanares?” com três vetores em
,
- calcule
(ou o determinante da matriz cujas linhas ou colunas são as componentes dos vetores); - se o resultado for
, então são coplanares; se for diferente de , não são.
Aqui aplicamos esse procedimento e obtivemos, logo não são coplanares.
Resposta
Não — os vetores não são coplanares (o produto misto é
).