Sabendo que (\vec{u}, \vec{w}, \vec{x})=2 e (\vec{v}, \vec{w}, \vec{x})=5, calcular:
(b) (3 \vec{u}, \vec{w}, 2 \vec{x})

Passo 1

O enunciado dá os valores dos produtos mistos e pede um novo produto misto. As informações fornecidas são:
(\vec{u}, \vec{w}, \vec{x}) = 2
(\vec{v}, \vec{w}, \vec{x}) = 5
A pergunta que precisamos responder é: calcular
(3\vec{u}, \vec{w}, 2\vec{x}).

Passo 2

O que é o produto misto? Vou explicar devagarinho. Para três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} em \mathbb{R}^3, o produto misto (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) pode ser definido de duas formas equivalentes:
(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = \det\big[\vec{a}\\ \vec{b}\\ \vec{c}\big]
ou
(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).
Aqui \det[\vec{a}\\ \vec{b}\\ \vec{c}] significa o determinante da matriz que tem \vec{a},\vec{b},\vec{c} como colunas, e \vec{b}\times\vec{c} é o produto vetorial. Em palavras: o produto misto dá o volume orientado do paralelepípedo formado por \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Cada símbolo significa:
  • \vec{a},\vec{b},\vec{c}: vetores em \mathbb{R}^3;
  • \cdot: produto escalar;
  • \times: produto vetorial;
  • \det: determinante de uma matriz 3×3.

Passo 3

Propriedade-chave para resolver o exercício: multilinearidade (linearidade em cada argumento). Em particular:
(\alpha\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\alpha(\vec{a},\vec{b},\vec{c})
e
(\vec{a},\vec{b},\beta\vec{c})=\beta(\vec{a},\vec{b},\vec{c}),
para quaisquer escalares \alpha,\beta. Explicando por que isso é verdade, de forma simples:
  • Pela forma \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}), se substituímos \vec{a} por \alpha\vec{a} obtemos (\alpha\vec{a})\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\alpha\big(\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\big) — o escalar sai do produto escalar.
  • De modo análogo, multiplicar \vec{c} por \beta faz o produto vetorial \vec{b}\times(\beta\vec{c})=\beta(\vec{b}\times\vec{c}) e depois o produto escalar dá o mesmo fator \beta multiplicando o produto misto.
    Se multiplicarmos dois argumentos por escalares, os fatores multiplicam:
(\alpha\vec{a},\vec{b},\beta\vec{c})=\alpha\beta(\vec{a},\vec{b},\vec{c}).

Passo 4

Agora aplicamos essa propriedade ao nosso caso. Queremos calcular
(3\vec{u},\vec{w},2\vec{x}).
Pelo que acabamos de ver, podemos tirar fora os escalares 3 e 2:
(3\vec{u},\vec{w},2\vec{x}) = 3\cdot 2 \cdot (\vec{u},\vec{w},\vec{x}).
Ou seja,
(3\vec{u},\vec{w},2\vec{x}) = 6\;(\vec{u},\vec{w},\vec{x}).

Passo 5

Usamos o valor dado no enunciado (\vec{u},\vec{w},\vec{x})=2. Substituindo:
(3\vec{u},\vec{w},2\vec{x}) = 6 \times 2 = 12.
Se quiser, um mini-cheque mental: se (\vec{u},\vec{w},\vec{x}) representa o volume orientado 2, escalar o primeiro vetor por 3 e o terceiro por 2 deve multiplicar esse volume por 3\cdot 2=6, resultando em 12. Faz sentido geométrico.

Resposta

\,12

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