Sabendo que
e
, calcular:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá os valores dos produtos mistos e pede um novo produto misto. As informações fornecidas são:
A pergunta que precisamos responder é: calcular
Passo 2
O que é o produto misto? Vou explicar devagarinho. Para três vetores
em
, o produto misto
pode ser definido de duas formas equivalentes:
ou
Aqui
significa o determinante da matriz que tem
como colunas, e
é o produto vetorial. Em palavras: o produto misto dá o volume orientado do paralelepípedo formado por
. Cada símbolo significa:
-
: vetores em ; -
: produto escalar; -
: produto vetorial; -
: determinante de uma matriz 3×3.
Passo 3
Propriedade-chave para resolver o exercício: multilinearidade (linearidade em cada argumento). Em particular:
e
para quaisquer escalares
. Explicando por que isso é verdade, de forma simples:
- Pela forma
, se substituímos por obtemos — o escalar sai do produto escalar. - De modo análogo, multiplicar
por faz o produto vetorial e depois o produto escalar dá o mesmo fator multiplicando o produto misto.
Se multiplicarmos dois argumentos por escalares, os fatores multiplicam:
Passo 4
Agora aplicamos essa propriedade ao nosso caso. Queremos calcular
Pelo que acabamos de ver, podemos tirar fora os escalares
e
:
Ou seja,
Passo 5
Usamos o valor dado no enunciado
. Substituindo:
Se quiser, um mini-cheque mental: se
representa o volume orientado
, escalar o primeiro vetor por
e o terceiro por
deve multiplicar esse volume por
, resultando em
. Faz sentido geométrico.