Dados os vetores \vec{u}=(-2,1,-2), \vec{v}=(1,2,1) e \vec{w}=(-3,2,0)
a) Determine o vetor \vec{r} tal que \vec{u}-2 \vec{v}+\vec{r}=3 \vec{v}-2 \vec{w}
b) Encontre os números a_{1}, a_{2} e a_{3} tais que a_{1} \vec{u}+a_{2} \vec{v}+a_{3} \vec{w}=(2,-3,1)

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=(-2,1,-2), \vec{v}=(1,2,1) e \vec{w}=(-3,2,0) e pede duas coisas:
a) encontrar \vec{r} tal que
\vec{u}-2\vec{v}+\vec{r}=3\vec{v}-2\vec{w},
b) encontrar escalares a_{1},a_{2},a_{3} tais que
a_{1}\vec{u}+a_{2}\vec{v}+a_{3}\vec{w}=(2,-3,1).
O conteúdo é combinação linear de vetores e resolução de sistema linear pelas componentes.

Passo 2

Para (a) isolamos \vec{r}:
\vec{r} = 3\vec{v}-2\vec{w} - (\vec{u}-2\vec{v}) =3\vec{v}-2\vec{w}-\vec{u}+2\vec{v} =5\vec{v}-2\vec{w}-\vec{u}.
Agora calculamos componente a componente:
5\vec{v}=(5,10,5), -2\vec{w}=(6,-4,0), soma dá (11,6,5), e subtraindo \vec{u}=(-2,1,-2) obtemos
\vec{r}=(11,6,5)-(-2,1,-2)=(13,5,7).

Passo 3

Para (b) escrevemos
a_{1}(-2,1,-2)+a_{2}(1,2,1)+a_{3}(-3,2,0)=(2,-3,1),
isto gera o sistema
\begin{cases} -2a_{1}+a_{2}-3a_{3}=2,\\\ a_{1}+2a_{2}+2a_{3}=-3,\\\\ -2a_{1}+a_{2}=1. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação -2a_{1}+a_{2}=1 segue
a_{2}=1+2a_{1}.
Substituindo em -2a_{1}+a_{2}-3a_{3}=2 fica
-2a_{1}+(1+2a_{1})-3a_{3}=2 \implies 1-3a_{3}=2 \implies a_{3}=-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Por fim, substituímos a_{2}=1+2a_{1} e a_{3}=-\tfrac{1}{3} em
a_{1}+2a_{2}+2a_{3}=-3:
a_{1}+2(1+2a_{1})+2\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)=-3 \implies 5a_{1}+\tfrac{4}{3}=-3 \implies a_{1}=-\tfrac{13}{15},
a_{2}=1+2\Bigl(-\tfrac{13}{15}\Bigr)=-\tfrac{11}{15}.

Resposta

\vec{r}=(13,5,7)
(a_{1},a_{2},a_{3})=\bigl(-\tfrac{13}{15},-\tfrac{11}{15},-\tfrac{1}{3}\bigr)

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