Sabendo que \vec{u}-2 \vec{v}-3 \vec{w} determine x, y e z, sendo \vec{u}-(2,-z, 1), \vec{v}-(-x, 3, y+2) e \vec{w}-(-4,1,0).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 com incógnitas em algumas componentes:
\displaystyle \vec{u}=(2,\,-z,\,1), \displaystyle \vec{v}=(-x,\,3,\,y+2) e \displaystyle \vec{w}=(-4,\,1,\,0).
Pede-se encontrar x,y,z sabendo que
\vec{u} \;-\;2\,\vec{v}\;-\;3\,\vec{w} \;=\;\vec{0}.
Para isso, vamos usar que dois vetores são iguais se, e somente se, todas as suas coordenadas coincidirem.

Passo 2

Compute o vetor combinação:
\vec{u}-2\vec{v}-3\vec{w} =(2,\,-z,\,1) -2\bigl(-x,\,3,\,y+2\bigr) -3\bigl(-4,\,1,\,0\bigr).

Passo 3

Desenvolvendo cada coordenada:
1ª coordenada:
2 -2(-x) -3(-4) =2 +2x +12 =2x +14.
2ª coordenada:
-z -2\cdot3 -3\cdot1 =-z -6 -3 =-z -9.
3ª coordenada:
1 -2(y+2) -3\cdot0 =1 -2y -4 =-2y -3.

Passo 4

Como o resultado deve ser \vec{0}=(0,0,0)\), igualamos cada coordenada a zero e resolvemos o sistema: \[\begin{cases} 2x +14 =0,\\\\ -z -9 =0,\\\\ -2y -3 =0. \end{cases}
Da primeira vem 2x+14=0\implies x=-7\]. Da segunda vem \(-z-9=0\implies z=-9.
Da terceira vem -2y-3=0\implies y=-\tfrac{3}{2}.

Resposta

x=-7,\quad y=-\tfrac{3}{2},\quad z=-9.

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