- Daniel (massa de
) e Rebeca (massa de
) estão praticando patinação sobre uma pista de gelo. Enquanto está parado amarrando o cordão de seu patim, Daniel é atingido por Rebeca, que se deslocava a
antes de colidir com ele. Depois da colisão, a velocidade de Rebeca possui módulo igual a
e formando um ângulo de
com a direção de sua velocidade inicial. Ambos se movem sobre a superfície horizontal sem atrito da pista de gelo. (a) qual é o módulo, a direção e o sentido da velocidade de Daniel depois da colisão? (b) qual é a variação da energia cinética total dos dois patinadores em virtude da colisão?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) o módulo, a direção e o sentido da velocidade de Daniel depois da colisão;
(b) a variação da energia cinética total dos dois patinadores em virtude da colisão.
(a) o módulo, a direção e o sentido da velocidade de Daniel depois da colisão;
(b) a variação da energia cinética total dos dois patinadores em virtude da colisão.
Informações fornecidas (pego diretamente do enunciado):
- massa de Daniel:
; - massa de Rebeca:
; - velocidade inicial de Rebeca:
(direção que chamarei de eixo , positiva); - Daniel estava parado antes da colisão:
; - velocidade final de Rebeca:
, formando um ângulo com a direção inicial (vou tomar esse ângulo medido a partir do eixo , com componente positiva em ); - superfície sem atrito (logo podemos usar conservação da quantidade de movimento linear).
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicando bem): como não há forças externas horizontais significativas (pista sem atrito), a quantidade de movimento linear (momentum) do sistema composto pelos dois patinadores é conservada durante a colisão. Em forma vetorial:
Aqui
. Vou decompor vetores nas componentes
(direção da velocidade inicial de Rebeca) e
(perpendicular, para cima no meu esquema). Escrever em componentes facilita porque conservação vale separadamente em
e
.
Passo 3
Escrevendo o momentum inicial e final em componentes:
- Momentum inicial: só Rebeca se movia no
,
- Momentum final: soma dos dois momenta
A velocidade final de Rebeca em componentes é
Logo as equações de conservação nas duas direções são
Dessas equações isolamos as componentes de
:
Expliquei: no eixo
o termo de Rebeca aparece porque inicialmente não havia componente
, então Daniel deve fornecer o momentum oposto para que a soma seja zero.
Passo 4
Agora numérico passo a passo. Primeiro valores trigonométricos: o enunciado deu
. Esse ângulo tem
(esses valores são os usados tipicamente em exercícios relacionados; são aproximados a duas casas decimais e facilitam contas manuais.)
Calculemos as componentes do momentum de Daniel (antes de dividir pela massa):
Dentro do parêntese:
. Então
Agora a componente
do momentum de Daniel (note o sinal negativo):
Dentro do parêntese:
. Então
Divide-se pelas massa de Daniel para obter as componentes da velocidade final:
Passo 5
Agora obter o módulo e a direção da velocidade de Daniel (fórmulas e significado das variáveis):
- módulo (velocidade escalar) vem de
, onde e são as componentes horizontais e verticais que acabamos de achar. - direção (ângulo) relativo à direção inicial de Rebeca (eixo
) vem de . O sinal da componente indica se o ângulo é acima (positivo) ou abaixo (negativo) do eixo .
Cálculo do módulo:
Quadrados:
,
. Soma
. Então
Cálculo do ângulo:
Interpretação:
significa que a velocidade de Daniel forma um ângulo de aproximadamente
abaixo da direção original de Rebeca (ou seja, componente para frente em
e para baixo em
). O sentido é, portanto, no mesmo sentido
da velocidade inicial de Rebeca, mas com componente negativa em
.
Passo 6
Agora a variação da energia cinética (explicando a fórmula): a energia cinética de um corpo é
onde
é a massa e
o módulo da velocidade. A variação total do sistema é
Calculemos a energia cinética inicial (antes da colisão): Daniel parado, só Rebeca contribui:
Energia cinética final (os dois em movimento):
Calcule cada termo:
Para Daniel usamos
(valor obtido no Passo 5):
Somando:
Logo a variação:
Interpretação física:
significa que houve perda de energia cinética (energia convertida em som, deformação, calor, etc.), típico de colisões inelásticas. A energia total dos dois diminuiu em cerca de
.
Resposta
(a)
direção formando
abaixo da direção inicial de Rebeca (isto é,
contado a partir do eixo
); sentido com componente positiva em
e negativa em
.
(b) (a energia cinética total diminuiu aproximadamente
).
(b)