1. Daniel (massa de 65,0 \mathrm{~kg} ) e Rebeca (massa de 45,0 \mathrm{~kg} ) estão praticando patinação sobre uma pista de gelo. Enquanto está parado amarrando o cordão de seu patim, Daniel é atingido por Rebeca, que se deslocava a 13,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} antes de colidir com ele. Depois da colisão, a velocidade de Rebeca possui módulo igual a 8,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e formando um ângulo de 53,1^{\circ} com a direção de sua velocidade inicial. Ambos se movem sobre a superfície horizontal sem atrito da pista de gelo. (a) qual é o módulo, a direção e o sentido da velocidade de Daniel depois da colisão? (b) qual é a variação da energia cinética total dos dois patinadores em virtude da colisão?
    \operatorname{Recn} \cdot \operatorname{al} 770 \mathrm{~m} / \mathrm{c} \cdot \mathrm{h}-680 \mathrm{I}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) o módulo, a direção e o sentido da velocidade de Daniel depois da colisão;
(b) a variação da energia cinética total dos dois patinadores em virtude da colisão.
Informações fornecidas (pego diretamente do enunciado):
  • massa de Daniel: m_D = 65{,}0\\ \mathrm{kg};
  • massa de Rebeca: m_R = 45{,}0\\ \mathrm{kg};
  • velocidade inicial de Rebeca: v_{R,i} = 13{,}0\\ \mathrm{m/s} (direção que chamarei de eixo x, positiva);
  • Daniel estava parado antes da colisão: v_{D,i} = 0;
  • velocidade final de Rebeca: v_{R,f} = 8{,}0\\ \mathrm{m/s}, formando um ângulo \theta = 53{,}1^\circ com a direção inicial (vou tomar esse ângulo medido a partir do eixo x, com componente positiva em y);
  • superfície sem atrito (logo podemos usar conservação da quantidade de movimento linear).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicando bem): como não há forças externas horizontais significativas (pista sem atrito), a quantidade de movimento linear (momentum) do sistema composto pelos dois patinadores é conservada durante a colisão. Em forma vetorial:
\vec{p}_{\text{inicial}}=\vec{p}_{\text{final}}.
Aqui \vec{p}=m\vec{v}. Vou decompor vetores nas componentes x (direção da velocidade inicial de Rebeca) e y (perpendicular, para cima no meu esquema). Escrever em componentes facilita porque conservação vale separadamente em x e y.

Passo 3

Escrevendo o momentum inicial e final em componentes:
  • Momentum inicial: só Rebeca se movia no x,
\vec{p}_{\text{inicial}} = m_R v_{R,i}\,\hat{\imath} + 0\,\hat{\jmath}.
  • Momentum final: soma dos dois momenta
\vec{p}_{\text{final}} = m_R \vec{v}_{R,f} + m_D \vec{v}_{D,f}.
A velocidade final de Rebeca em componentes é
\vec{v}_{R,f} = v_{R,f}\cos\theta\,\hat{\imath} + v_{R,f}\sin\theta\,\hat{\jmath}.
Logo as equações de conservação nas duas direções são
\text{(x)}\quad m_R v_{R,i} = m_R v_{R,f}\cos\theta + m_D v_{D,x},
\text{(y)}\quad 0 = m_R v_{R,f}\sin\theta + m_D v_{D,y}.
Dessas equações isolamos as componentes de \vec{v}_{D,f}:
v_{D,x} = \frac{m_R}{m_D}\bigl(v_{R,i} - v_{R,f}\cos\theta\bigr),
v_{D,y} = -\frac{m_R}{m_D}\bigl(v_{R,f}\sin\theta\bigr).
Expliquei: no eixo y o termo de Rebeca aparece porque inicialmente não havia componente y, então Daniel deve fornecer o momentum oposto para que a soma seja zero.

Passo 4

Agora numérico passo a passo. Primeiro valores trigonométricos: o enunciado deu \theta = 53{,}1^\circ. Esse ângulo tem
\cos 53{,}1^\circ \approx 0{,}6,\qquad \sin 53{,}1^\circ \approx 0{,}8.
(esses valores são os usados tipicamente em exercícios relacionados; são aproximados a duas casas decimais e facilitam contas manuais.)
Calculemos as componentes do momentum de Daniel (antes de dividir pela massa):
p_{D,x} = m_R\bigl(v_{R,i} - v_{R,f}\cos\theta\bigr) = 45{,}0\bigl(13{,}0 - 8{,}0\cdot 0{,}6\bigr).
Dentro do parêntese: 13{,}0 - 8{,}0\cdot0{,}6 = 13{,}0 - 4{,}8 = 8{,}2. Então
p_{D,x} = 45{,}0\times 8{,}2 = 369{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora a componente y do momentum de Daniel (note o sinal negativo):
p_{D,y} = - m_R (v_{R,f}\sin\theta) = -45{,}0\times (8{,}0\cdot 0{,}8).
Dentro do parêntese: 8{,}0\cdot0{,}8 = 6{,}4. Então
p_{D,y} = -45{,}0\times 6{,}4 = -288{,}0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Divide-se pelas massa de Daniel para obter as componentes da velocidade final:
v_{D,x} = \frac{p_{D,x}}{m_D} = \frac{369{,}0}{65{,}0} \approx 5{,}676923\\ \mathrm{m/s},
v_{D,y} = \frac{p_{D,y}}{m_D} = \frac{-288{,}0}{65{,}0} \approx -4{,}430769\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora obter o módulo e a direção da velocidade de Daniel (fórmulas e significado das variáveis):
  • módulo (velocidade escalar) vem de v_D = \sqrt{v_{D,x}^{2}+v_{D,y}^{2}}, onde v_{D,x} e v_{D,y} são as componentes horizontais e verticais que acabamos de achar.
  • direção (ângulo) relativo à direção inicial de Rebeca (eixo x) vem de \varphi = \arctan\!\bigl(\dfrac{v_{D,y}}{v_{D,x}}\bigr). O sinal da componente v_{D,y} indica se o ângulo é acima (positivo) ou abaixo (negativo) do eixo x.
Cálculo do módulo:
v_D = \sqrt{(5{,}676923)^2 + (-4{,}430769)^2}.
Quadrados: 5{,}676923^2 \approx 32{,}247, 4{,}430769^2 \approx 19{,}627. Soma \approx 51{,}874. Então
v_D \approx \sqrt{51{,}874} \approx 7{,}20\\ \mathrm{m/s}.
Cálculo do ângulo:
\varphi = \arctan\!\left(\frac{-4{,}430769}{5{,}676923}\right) \approx \arctan(-0{,}780) \approx -38{,}0^\circ.
Interpretação: \varphi\approx -38{,}0^\circ significa que a velocidade de Daniel forma um ângulo de aproximadamente 38{,}0^\circ abaixo da direção original de Rebeca (ou seja, componente para frente em +x e para baixo em y). O sentido é, portanto, no mesmo sentido +x da velocidade inicial de Rebeca, mas com componente negativa em y.

Passo 6

Agora a variação da energia cinética (explicando a fórmula): a energia cinética de um corpo é
K=\tfrac12 m v^2,
onde m é a massa e v o módulo da velocidade. A variação total do sistema é
\Delta K = K_{\text{final}} - K_{\text{inicial}}.
Calculemos a energia cinética inicial (antes da colisão): Daniel parado, só Rebeca contribui:
K_{\text{inicial}} = \tfrac12 m_R v_{R,i}^2 = \tfrac12\times 45{,}0 \times 13{,}0^2.
13{,}0^2 = 169. Então
K_{\text{inicial}} = 22{,}5 \times 169 = 3802{,}5\\ \mathrm{J}.
Energia cinética final (os dois em movimento):
K_{\text{final}} = \tfrac12 m_R v_{R,f}^2 + \tfrac12 m_D v_D^2.
Calcule cada termo:
\tfrac12 m_R v_{R,f}^2 = \tfrac12\times 45{,}0 \times 8{,}0^2 = 22{,}5\times 64 = 1440{,}0\\ \mathrm{J}.
Para Daniel usamos v_D^2\approx 51{,}874 (valor obtido no Passo 5):
\tfrac12 m_D v_D^2 = \tfrac12\times 65{,}0 \times 51{,}874 \approx 32{,}5 \times 51{,}874 \approx 1685{,}74\\ \mathrm{J}.
Somando:
K_{\text{final}} \approx 1440{,}0 + 1685{,}74 = 3125{,}74\\ \mathrm{J}.
Logo a variação:
\Delta K = K_{\text{final}} - K_{\text{inicial}} \approx 3125{,}74 - 3802{,}50 = -676{,}76\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: \Delta K<0 significa que houve perda de energia cinética (energia convertida em som, deformação, calor, etc.), típico de colisões inelásticas. A energia total dos dois diminuiu em cerca de 6,77\times 10^{2}\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) v_D = 7{,}20\\ \mathrm{m/s}; direção formando 38{,}0^\circ abaixo da direção inicial de Rebeca (isto é, \varphi\approx -38{,}0^\circ contado a partir do eixo x); sentido com componente positiva em x e negativa em y.
(b) \Delta K \approx -676{,}8\\ \mathrm{J} (a energia cinética total diminuiu aproximadamente 6{,}77\times10^{2}\\ \mathrm{J}).

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