Dar a área do triángulo ABC , nos seguintes casos:
b) \mathrm{A}=(0,0,1), \quad \mathrm{B}=(0,1,0), \quad \mathrm{C}=(1,0,0)

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo ABC no espaço \mathbb{R}^3, cujos vértices são
A=(0,0,1),\quad B=(0,1,0),\quad C=(1,0,0).
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da área de um triângulo em 3D dada por
\text{Área}=\frac{1}{2}\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\|.Á

Passo 2

Calculamos os vetores a partir de A:
\overrightarrow{AB}=B-A=(0,1,0)-(0,0,1)=(0,1,-1),
\overrightarrow{AC}=C-A=(1,0,0)-(0,0,1)=(1,0,-1).

Passo 3

Fazemos o produto vetorial e em seguida a norma desse vetor:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\bigl(1\cdot(-1)-(-1)\cdot0,\;(-1)\cdot1-0\cdot(-1),\;0\cdot0-1\cdot1\bigr) =(-1,-1,-1).
A norma é
\bigl\|(-1,-1,-1)\bigr\| =\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2} =\sqrt{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da área:
\text{Área}=\frac{1}{2}\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| =\frac{1}{2}\,\sqrt{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

Exercícios relacionados