Dar a área do triángulo ABC , nos seguintes casos:
a) \mathrm{A}=(1,1,1), \mathrm{B}=(2,1,-3), \mathrm{C}=(0,1,-1)

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo ABC em \mathbb{R}^3, cujos vértices são
A = (1,1,1),\quad B = (2,1,-3),\quad C = (0,1,-1).
Para resolver, vamos usar a fórmula
\text{área} = \tfrac12 \bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\|,á
isto é, metade da norma do produto vetorial de dois lados do triângulo.

Passo 2

Calculamos primeiro os vetores lado:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-1,\;1-1,\;-3-1) = (1,\,0,\,-4),
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-1,\;1-1,\;-1-1) = (-1,\,0,\,-2).

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & -4 \\\\ -1 & 0 & -2 \end{vmatrix}
Calculando os menores, chega-se a
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (0,\,6,\,0).

Passo 4

A norma desse vetor é
\bigl\|(0,6,0)\bigr\| = \sqrt{0^2 + 6^2 + 0^2} = 6.

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo é metade dessa norma:
\text{área} = \tfrac12 \times 6 = 3.á

Resposta

3

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