Dar a área do triângulo ABC , nos seguintes casos:
\mathrm{A}=(0,0,1), \quad \mathrm{B}=(0,1,0), \quad \mathrm{C}=(1,0,0)

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo cujos vértices são \mathrm{A}=(0,0,1), \mathrm{B}=(0,1,0) e \mathrm{C}=(1,0,0).
O conteúdo aqui é geometria vetorial em \mathbb{R}^3, especificamente usar produto vetorial para achar a área.

Passo 2

Primeiro, formamos os vetores que partem de \mathrm{A} até \mathrm{B} e até \mathrm{C}:
\overrightarrow{AB} = \mathrm{B}-\mathrm{A} = (0,1,0) - (0,0,1) = (0,1,-1),
\overrightarrow{AC} = \mathrm{C}-\mathrm{A} = (1,0,0) - (0,0,1) = (1,0,-1).

Passo 3

A área do triângulo é \tfrac12 do módulo do produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Calculando o produto vetorial:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-1)\,\mathbf{i} \;-\; (1)\,\mathbf{j} \;-\; (1)\,\mathbf{k} = (-1,\,-1,\,-1).]

Passo 4

Agora, o módulo de ( -1,-1,-1 ) é
\big\lVert(-1,-1,-1)\big\rVert =\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2} =\sqrt{3}.
Logo, a área do triângulo é
\text{Área} \;=\;\tfrac12\,\big\lVert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\rVert =\tfrac12\,\sqrt{3}.Á

Resposta

A área do triângulo ABC é \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

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