Dar a área do triângulo ABC , nos seguintes casos:
\mathrm{A}=(2,2,0), \quad \mathrm{B}=(0,2,1), \quad \mathrm{C}=(2,0,1).

Passo 1

O enunciado dá os pontos \mathrm{A}=(2,2,0), \mathrm{B}=(0,2,1) e \mathrm{C}=(2,0,1)
e pede a área do triângulo ABC no espaço. Vamos usar que a área de um triângulo em \mathbb{R}^3 é
\text{Área} = \tfrac12 \bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\|.Á

Passo 2

Calculamos os vetores de lado partindo de A:
\overrightarrow{AB} = \mathrm{B}-\mathrm{A} = (0-2,\,2-2,\,1-0) = (-2,0,1),
\overrightarrow{AC} = \mathrm{C}-\mathrm{A} = (2-2,\,0-2,\,1-0) = (0,-2,1).

Passo 3

Fazemos o produto vetorial
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -2 & 0 & 1\\\\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \bigl(0\cdot1 - 1\cdot(-2),\; -(-2\cdot1 -1\cdot0),\; -2\cdot(-2)-0\cdot0\bigr) = (2,2,4).

Passo 4

Calculamos a norma desse vetor:
\bigl\|(2,2,4)\bigr\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.
Como a área é metade dessa norma,
\text{Área} = \tfrac12 \times 2\sqrt{6} = \sqrt{6}.Á

Resposta

\sqrt{6}

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