Questão 2:
a) Seja V um espaço com produto interno. Sabendo que u e v são vetores em V, qual é a condição necessária para que seja ortogonais?
b) SejaV um Espaço com Produto interno. Sabendo que u e v são vetores ortogonais de V onde
, calcule
.
b) SejaV um Espaço com Produto interno. Sabendo que u e v são vetores ortogonais de V onde
Passo 1
O enunciado trata de um espaço com produto interno
. Na parte (a) pedem a condição para dois vetores
serem ortogonais. Na parte (b) usam essa condição e os comprimentos
,
para calcular
. Vamos usar a definição de ortogonalidade e as propriedades bilineares do produto interno, bem como a relação
.
Passo 2
Dois vetores
e
em
são ortogonais exatamente quando
Passo 3
Lembremos que para qualquer
vale
e que o produto interno é bilinear e simétrico, logo
Passo 4
Para encontrar
calculemos primeiro
Passo 5
Expansão usando bilinearidade:
Como
, temos
e portanto
Substituindo
e
:
Resposta
(a)
(b)
(b)