Questão 2:

a) Seja V um espaço com produto interno. Sabendo que u e v são vetores em V, qual é a condição necessária para que seja ortogonais?
b) SejaV um Espaço com Produto interno. Sabendo que u e v são vetores ortogonais de V onde \|u\|=2 \mathrm{e}\|v\|=3, calcule \|2 u-v\|.

Passo 1

O enunciado trata de um espaço com produto interno V. Na parte (a) pedem a condição para dois vetores u,v\in V serem ortogonais. Na parte (b) usam essa condição e os comprimentos \|u\|=2, \|v\|=3 para calcular \|2u - v\|. Vamos usar a definição de ortogonalidade e as propriedades bilineares do produto interno, bem como a relação \|w\|^2 = \langle w,w\rangle.

Passo 2

Dois vetores u e v em V são ortogonais exatamente quando
\langle u, v\rangle = 0.

Passo 3

Lembremos que para qualquer w\in V vale
\|w\|^2 = \langle w,w\rangle,
e que o produto interno é bilinear e simétrico, logo
\langle 2u, v\rangle = 2\,\langle u,v\rangle.

Passo 4

Para encontrar \|2u - v\| calculemos primeiro
\|2u - v\|^2 = \langle 2u - v,\,2u - v\rangle.

Passo 5

Expansão usando bilinearidade:
\langle 2u - v,\,2u - v\rangle = \langle 2u,2u\rangle \;-\;2\,\langle 2u,v\rangle\;+\;\langle v,v\rangle.
Como \langle u,v\rangle=0, temos \langle 2u,v\rangle=0 e portanto
\|2u - v\|^2 = 4\,\|u\|^2 + \|v\|^2.
Substituindo \|u\|=2 e \|v\|=3:
\|2u - v\|^2 = 4\cdot 2^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \quad\Longrightarrow\quad \|2u - v\| = 5.

Resposta

(a) \langle u, v\rangle = 0.
(b) \|2u - v\| = 5.

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