Questão 3:

Seja V um conjunto Ortonormal de n Vetores todos distintos de R^{n}:\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, \ldots, v_{n}\right\}, onde n é natural não nulo.
a) Podemos afirmar que V é um conjunto Linearmente Independente?
b) Defina o que é uma base de um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado diz que V=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\} é um conjunto ortonormal em \mathbb{R}^n. Isso significa que
  1. \langle v_i,v_j\rangle=0 sempre que i\neq j,
  2. \|v_i\|=1 para todo i.
    O que vamos precisar:
  • Mostrar que um conjunto ortonormal de vetores não nulos é linearmente independente.
  • Entender a definição de base de um espaço vetorial (linearmente independente e que gera o espaço).

Passo 2

Para ver por que um conjunto ortonormal é linearmente independente, suponha que exista uma combinação linear
a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots+a_{n}v_{n}=0.
Tomando o produto interno dessa igualdade com v_{j}, usando ortonormalidade, obtemos
\big\langle a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n},\,v_{j}\big\rangle =a_{1}\langle v_{1},v_{j}\rangle+\cdots+a_{n}\langle v_{n},v_{j}\rangle =a_{j}\langle v_{j},v_{j}\rangle =a_{j}\cdot1 =a_{j}.
Mas o lado esquerdo é \langle 0,v_{j}\rangle=0. Logo a_{j}=0 para todo j.

Passo 3

Como chegamos a a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}=0, concluímos que a única combinação linear que dá zero é a trivial. Portanto V é linearmente independente.

Passo 4

Agora, para responder à parte (b), lembramos que:
uma base de um espaço vetorial W é um conjunto B\subset W que satisfaz dois requisitos:
  1. Linearmente independente: nenhuma combinação linear não-trivial de vetores de B é zero.
  2. Gera W: todo vetor de W pode ser escrito como combinação linear de vetores de B.

Resposta

a) Sim. Qualquer conjunto ortonormal é necessariamente linearmente independente.
b) Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e, ao mesmo tempo, gera todo o espaço (ou seja, qualquer vetor pode ser obtido como combinação linear desses vetores).

Exercícios relacionados