Questão 3:
Seja V um conjunto Ortonormal de n Vetores todos distintos de
, onde n é natural não nulo.
a) Podemos afirmar que V é um conjunto Linearmente Independente?
b) Defina o que é uma base de um espaço vetorial?
a) Podemos afirmar que V é um conjunto Linearmente Independente?
b) Defina o que é uma base de um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado diz que
é um conjunto ortonormal em
. Isso significa que
-
sempre que , -
para todo .
O que vamos precisar:
- Mostrar que um conjunto ortonormal de vetores não nulos é linearmente independente.
- Entender a definição de base de um espaço vetorial (linearmente independente e que gera o espaço).
Passo 2
Para ver por que um conjunto ortonormal é linearmente independente, suponha que exista uma combinação linear
Tomando o produto interno dessa igualdade com
, usando ortonormalidade, obtemos
Mas o lado esquerdo é
. Logo
para todo
.
Passo 3
Como chegamos a
, concluímos que a única combinação linear que dá zero é a trivial. Portanto
é linearmente independente.
Passo 4
Agora, para responder à parte (b), lembramos que:
uma base de um espaço vetorial é um conjunto
que satisfaz dois requisitos:
uma base de um espaço vetorial
- Linearmente independente: nenhuma combinação linear não-trivial de vetores de
é zero. - Gera
: todo vetor de pode ser escrito como combinação linear de vetores de .
Resposta
a) Sim. Qualquer conjunto ortonormal é necessariamente linearmente independente.
b) Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e, ao mesmo tempo, gera todo o espaço (ou seja, qualquer vetor pode ser obtido como combinação linear desses vetores).
b) Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e, ao mesmo tempo, gera todo o espaço (ou seja, qualquer vetor pode ser obtido como combinação linear desses vetores).