Dar a equação geral do plano que passa pelos pontos \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, nos seguintes casos:
\mathrm{A}=(2,0,0), \quad \mathrm{B}=(0,0,1), \quad \mathrm{C}=(-1,-1,-2).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(2,0,0), B=(0,0,1) e C=(-1,-1,-2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial: obter dois vetores diretores do plano, calcular o vetor normal via produto vetorial e, em seguida, usar a forma normal do plano \mathbf{n}\cdot (X - A)=0.

Passo 2

Escolhemos como vetores diretores
\overrightarrow{AB}=B - A e \overrightarrow{AC}=C - A. Calculando coordenada a coordenada, temos
\overrightarrow{AB}=(0-2,\;0-0,\;1-0)=(-2,0,1),
\overrightarrow{AC}=(-1-2,\;-1-0,\;-2-0)=(-3,-1,-2).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado por
\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2 & 0 & 1 \\\\ -3 & -1 & -2 \end{vmatrix} =(1,-7,2).

Passo 4

A equação geral do plano com normal \mathbf{n}=(1,-7,2) passando por A=(2,0,0) é
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(2,0,0)\bigr)=0
ou seja
1\,(x-2)-7\,y+2\,z=0
que se reorganiza para

Resposta

x - 7y + 2z - 2 = 0.

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