Dar a equação geral do plano que passa pelos pontos \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, nos seguintes casos:
\mathrm{A}=(1,1,1), \quad \mathrm{B}=(3,2,5), \quad \mathrm{C}=(2,3,-1)

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos \mathrm{A}=(1,1,1), \mathrm{B}=(3,2,5) e \mathrm{C}=(2,3,-1). Para isso, vamos usar geometria analítica em \mathbb{R}^3:
  1. calcular dois vetores diretores do plano (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}),
  2. obter o vetor normal ao plano por meio do produto vetorial desses vetores diretores,
  3. usar a forma vetorial da equação do plano
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0
e em seguida passar para a forma geral Ax+By+Cz+D=0.

Passo 2

Calculamos os vetores diretores do plano partindo de \mathrm{A}:
\overrightarrow{AB} = \mathrm{B}-\mathrm{A} = (3-1,\;2-1,\;5-1) = (2,\,1,\,4),
\overrightarrow{AC} = \mathrm{C}-\mathrm{A} = (2-1,\;3-1,\;-1-1) = (1,\,2,\,-2).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Calculando:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 1 & 4\\\\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot(-2)-4\cdot2) - \mathbf{j}(2\cdot(-2)-4\cdot1) + \mathbf{k}(2\cdot2-1\cdot1).
Isso resulta em
\mathbf{n} = (-2-8)\,\mathbf{i} -(-4-4)\,\mathbf{j} + (4-1)\,\mathbf{k} = -10\,\mathbf{i} + 8\,\mathbf{j} + 3\,\mathbf{k},
ou seja, \mathbf{n}=(-10,\,8,\,3).

Passo 4

Usamos a forma vetorial do plano com ponto \mathrm{A}(1,1,1) e normal \mathbf{n}=(-10,8,3):
(-10,\,8,\,3)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,1,1)\bigr)=0.
Escrevendo o produto escalar:
-10(x-1)+8(y-1)+3(z-1)=0.

Passo 5

Desenvolvendo e simplificando:
-10x +10 +8y -8 +3z -3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -10x +8y +3z -1 = 0.
Multiplicando por -1 (opcional) fica
10x -8y -3z +1 = 0,
que é a forma geral desejada.

Resposta

10x \;-\;8y \;-\;3z \;+\;1 \;=\;0.

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